En álgebra lineal, una base dual o base biortogonal es un conjunto de vectores que forman una base para el espacio dual de un espacio vectorial.
Para un espacio vectorial V de dimensiones finitas, el espacio dual V* es isomorfo a V y para cualquier conjunto dado de vectores base {e1, …, en} de V, hay asociada una base dual {e1,...,en} de V* con la relación Concretamente, podemos escribir vectores en un espacio vectorial V de n dimensiones como una matriz de columna de n × 1 dimensiones y los elementos del espacio dual V* como matrices de fila de 1 × n que actúan como funcionales lineales por medio de la multiplicación matricial a la izquierda.
También se usa la delta de Kronecker como nomenclatura para la definición anterior como sigue Y en muchos textos de álgebra lineal también es común representar el producto punto o interno de dos vectores únicamente encerrando en un paréntesis el segundo vector como sigue Así como asumir que son vectores sin usar negritas, debido ya sea a que están en un producto punto o a que no tienen subíndices o superíndices como sigue: Para el caso de un espacio tridimensional, teniendo una base dada e, se puede encontrar la base biortogonal (dual) por medio de estas fórmulas: Cuyo uso se aclara mejor con el siguiente ejemplo.
Encontrar la base dual para un espacio en R3 cuyas bases están dadas por: Calculamos la base dual para su espacio dual
e
{\displaystyle {{\mathbf {e} }^{*3}}={\frac {\left|\left[{\begin{matrix}5&-3&{{x}_{1}}\\-2&-1&{{x}_{2}}\\6&-4&{{x}_{3}}\\\end{matrix}}\right]\right|}{\left|\left[{\begin{matrix}5&-3&9\\-2&-1&-5\\6&-4&7\\\end{matrix}}\right]\right|}}={\frac {14}{39}}{{x}_{1}}+{\frac {2}{39}}{{x}_{2}}+{\frac {-11}{39}}{{x}_{3}}=\left({\frac {14}{39}}{\text{, }}{\frac {2}{39}}{\text{, }}{\frac {-11}{39}}\right)}
para comprobar que nuestro resultado está bien, usamos la condición que es equivalente en este caso a al sustituir se obtiene lo cual demuestra que nuestro procedimiento es correcto Cada vector v de un espacio vectorial V puede ser expresado únicamente como una combinación lineal de los elementos de la base El resultado de aplicar e*i en v es el siguiente: Y por eso e*i es la transformación lineal (proyección) que "extrae" de un vector v la componente
v
i
{\displaystyle v^{i}}
de su vector de coordenadas respecto a la base.
Hagamos que F sea un elemento genérico de V*, es decir una transformación lineal F desde el espacio vectorial V al K. Aplicado a un vector Produce la relación: Como se muestra en la fórmula anterior la trasformación F solo actúa sobre los elementos de la base de V.
Por otra parte F transforma un vector en un elemento del espacio K, por lo que F es definido como n "números": En consecuencia, F es obtenida de una combinación lineal de: En efecto esa es la relación: Cada transformación lineal F en V* puede ser expresada únicamente como una combinación lineal de la transformación ei y por eso: