Operador de proyección
Además, dado que P+Q=I todo vector puede ser descompuesto de la siguiente forma:
[3] Para pasar del concepto de «proyección» al de «proyección ortogonal» es preciso que exista un instrumento que nos diga si dos vectores son ortogonales, es decir, perpendiculares.
El espacio vectorial puede ser o no completo respecto a ella.
Expresado de otra manera, la imagen resultante queda sin cambios tras sucesivas aplicaciones.
tiene las siguientes propiedades: La imagen y el núcleo de una proyección son complementarios, al igual que
En general, los espacios propios correspondientes son (respectivamente) el núcleo y el rango de la proyección.
, puede haber muchas proyecciones cuyo rango (o núcleo) sea
, que se descompone en distintos factores lineales y, por lo tanto,
Para espacios vectoriales reales o complejos de dimensión finita, el producto escalar se puede sustituir por
es un vector unitario en la recta, entonces la proyección viene dada por el producto exterior (si
tiene un valor complejo, la traspuesta en la ecuación anterior se reemplaza por una transpuesta hermítica).
Este operador deja invariante u y anula todos los vectores ortogonales a
Aplicando la proyección se obtiene por las propiedades del producto escalar de vectores paralelos y perpendiculares.
Esta fórmula se puede generalizar a proyecciones ortogonales en un subespacio de dimensión arbitraria.
no singular, se cumple lo siguiente: Todas estas fórmulas también son válidas para espacios con productos internos complejos, siempre que se utilice la matriz traspuesta conjugada en lugar de la traspuesta.
Se pueden encontrar más detalles sobre las sumas de las proyecciones en Banerjee y Roy (2014).
Mientras que calcular el valor ajustado de una regresión mínimos cuadrados ordinarios requiere una proyección ortogonal, calcular el valor ajustado de una regresión variable instrumental requiere una proyección oblicua.
De ello se deduce que el complemento ortogonal del núcleo tiene la dimensión
una base para el complemento ortogonal del núcleo de la proyección, represéntesen estos vectores en la matriz
Al utilizar esta fórmula, se puede comprobar fácilmente que
En general, si el espacio vectorial está definido sobre el cuerpo de los números complejos, se usa la matriz traspuesta conjugada
son Esto implica que los valores singulares más grandes de
son iguales y, por lo tanto, que la norma matricial de las proyecciones oblicuas es la misma.
sobre un cuerpo es una matriz diagonalizable, ya que su polinomio mínimo divide a
Muchos de los resultados algebraicos discutidos anteriormente se conservan en este nuevo contexto.
Sin embargo, a diferencia del caso de dimensión finita, las proyecciones no necesitan ser continuas en general.
está cerrado y {(I − P)xn} ⊂ V, se tiene que
, aunque para un espacio de Hilbert esto siempre se puede hacer tomando el complemento ortogonal.
Analíticamente, las proyecciones ortogonales son generalizaciones no conmutativas de funciones características.
De manera más general, dada una aplicación entre espacios vectoriales normados
