En los campo matemáticos del álgebra lineal y del análisis funcional, el complemento ortogonal de un subespacio vectorial
de un espacio vectorial
dotado de un producto escalar
que son ortogonales a todo vector de
Fijamos un subespacio vectorial
Vamos a ver que
Es no vacío, pues por definición de producto escalar,
Veamos que es cerrado para la suma.
Queremos ver que
⟨ u + v , w ⟩ = 0
Pero por bilinealidad del producto escalar,
{\displaystyle \langle u+v,w\rangle =\langle u,w\rangle +\langle v,w\rangle =0+0=0\ \ \forall w\in F,}
{\displaystyle u{\text{y}}v}
Queda ver que es cerrado para el producto por escalar.
Como antes, vamos a ver que
⟨ λ u , w ⟩ = 0
Pero por bilinealidad del producto escalar,
también es cerrado para el producto por escalar y es, pues, un subespacio vectorial.
(suponiendo que la dimensión de
Ahora podemos aplicar el proceso de ortogonalización de Gram-Schmidt a esta base para obtener una ortonormal:
Por tanto, como los vectores de esta base son ortogonales dos a dos por ser una base ortonormal, tenemos que
Es equivalente ver que
, pero nos queda ver que
Por tanto, de las dos desigualdades obtenemos que
De esta última propiedad obtenemos que
de forma única, por lo que podemos definir proyección ortogonal de
y escribiremos que
Simétricamente, podemos definir la proyección ortogonal de
Por el teorema de proyección, esta descomposición es única y, por definición de
Veamos ahora las expresiones del núcleo y la imagen de