Complemento ortogonal

En los campo matemáticos del álgebra lineal y del análisis funcional, el complemento ortogonal de un subespacio vectorialde un espacio vectorialdotado de un producto escalarque son ortogonales a todo vector deVamos a ver queEs no vacío, pues por definición de producto escalar,Veamos que es cerrado para la suma.Queremos ver quePero por bilinealidad del producto escalar,{\displaystyle \langle u+v,w\rangle =\langle u,w\rangle +\langle v,w\rangle =0+0=0\ \ \forall w\in F,}{\displaystyle u{\text{y}}v}Queda ver que es cerrado para el producto por escalar.Como antes, vamos a ver quePero por bilinealidad del producto escalar,también es cerrado para el producto por escalar y es, pues, un subespacio vectorial.(suponiendo que la dimensión deAhora podemos aplicar el proceso de ortogonalización de Gram-Schmidt a esta base para obtener una ortonormal:Por tanto, como los vectores de esta base son ortogonales dos a dos por ser una base ortonormal, tenemos queEs equivalente ver que, pero nos queda ver quePor tanto, de las dos desigualdades obtenemos queDe esta última propiedad obtenemos quede forma única, por lo que podemos definir proyección ortogonal dey escribiremos queSimétricamente, podemos definir la proyección ortogonal deu + λ v ={\displaystyle u+\lambda v=\pi _{F}(u)+\pi _{F^{\bot }}(u)+\lambda (\pi _{F}(v)+\pi _{F^{\bot }}(v))=(\pi _{F}(u)+\lambda \pi _{F}(v))+(\pi _{F^{\bot }}(u)+\lambda \pi _{F^{\bot }}(v))}Por el teorema de proyección, esta descomposición es única y, por definición de( u + λ v ) =Veamos ahora las expresiones del núcleo y la imagen de