Subespacio invariante
En álgebra lineal, un subespacio invariante es un subespacio vectorial que contiene las transformadas de sus vectores, dada la aplicación lineal correspondiente.
Si se tienen un subespacio S y una aplicación f, de manera que las transformadas de los vectores de S a través de f pertenecen al mismo S, se dice que el subespacio S es f-invariante, o invariante por f.[1] Sea
un conjunto de vectores sobre el cual está definida una estructura de espacio vectorial.
se dice que Un subespacio
(o f-invariante) si para todo vector
[2] Al rotar un vector cualquiera de este plano alrededor del eje z se obtiene otro vector en el mismo plano.
, o bien, si transformamos cualquier vector contenido en xy obtenemos otro vector también contenido en este plano.
Por lo tanto, el plano S es f-invariante.
Para toda aplicación lineal se cumple que
es f-invariante ya que toda imagen de un vector del núcleo también pertenece a él.
No obstante, podría ser que sólo algunos vectores tuvieran imagen.
Veamos que es imposible que, en un endomorfismo, ninguno la tenga, puesto que el vector nulo siempre tiene como imagen al vector nulo, por lo tanto pertenece a la imagen de f y a su vez podemos volver a aplicar f al vector de la imagen para obtener cero nuevamente.
y queda demostrado que
Veamos ahora la invariancia de la imagen, que denotaremos
: Notemos que la palabra «invariante» puede generar confusión en el siguiente sentido: un subespacio puede ser invariante y sin embargo «variar» bajo la transformación en cuestión.
Esto es posible dado que la condición para que el subespacio sea invariante es
Dado cualquier endomorfismo de un espacio vectorial
como suma directa de subespacios invariantes por
En esta sección veremos la demostración de ello.
Notemos en primer lugar que todo endomorfismo de
Por ejemplo, por el teorema de Cayley-Hamilton el polinomio característico de
Además, hace falta tener en cuenta que para cualquier polinomio,
Por último, necesitaremos utilizar que todo polinomio se puede descomponer en factores irreducibles y el teorema de Bézout aplicado a polinomios, que afirma que si
es el máximo común divisor de dos polinomios
Con todo esto, ya podemos enunciar y demostrar el teorema importante: Entonces,
Como corolario de este teorema tenemos que
se puede descomponer como suma directa de subespacios
y, por el teorema anterior,
y cada uno de esos núcleos es
-invariante, por ser el núcleo de un polinomio aplicado a
