Teorema de Bézout

El teorema de Bezout, atribuido a Étienne Bézout[1]​[2]​ afirma que dos curvas algebraicas proyectivas planas

de grados m y n, definidas sobre un cuerpo algebraicamente cerrado

y sin componente irreductible común, tienen exactamente mn puntos de intersección contados con su multiplicidad.

La forma débil del teorema dice que el número de intersecciones (sin tener en cuenta las multiplicidades) está acotado por

y sin ningún factor común, entonces el sistema admite a lo más

El principio de que una curva con grado n se interseca con una de grado m en nm puntos fue supuesto verdadera por varios matemáticos.

Desde 1720 Maclaurin conjeturó[6]​ que «en général, le nombre de points d'intersection est égal à

Léonard Euler examinó la cuestión en algunos casos particulares, pero no consiguió hacer entrar el caso de raíces múltiples en una demostración general.

[6]​ Étienne Bézout fue el primero en demostrar (1764) el enunciado en el cao donde sólo hay raíces simples.

[1]​ Los matemáticos que fracasaron fue por el problema de no encontrar un método para contar "puntos en el infinito"[7]​ (recuérdese que el teorema es válido en el plano proyectivo, no en el plano euclídeo).

Un correcto enunciado del teorema de Bezout, con una prueba rigurosa, no se halla hasta pasado la mitad del siglo XIX.

Aparentemente, el primero que encontró una buena manera de contar raíces con multiplicidades fue Halphen en 1873.

, el número de intersección entre C y D en P es intuitivamente la cantidad de derivadas en las que coinciden ambas curvas en ese punto.

Por ejemplo, si las tangentes de C y D en P no coinciden entonces

Decimos que dos curvas C y D no tienen factores en común si el máximo común divisor entre los polinomios que definen a las curvas es 1.

Los puntos de la intersección son en el plano proyectivo.