Curva algebraica
[1] La teoría acerca de estas curvas fue extensamente desarrollada durante el siglo xix, tras considerarse numerosos ejemplos comenzando por la circunferencia y otras secciones cónicas.
Una curva algebraica definida sobre un cuerpo F puede considerarse como el lugar geométrico de los puntos en Fn determinados por al menos n − 1 funciones polinómicas independientes en n variables con coeficientes en F, gi(x1, …, xn), en donde la curva se define escribiendo cada gi = 0.
Por ejemplo: 1) Eliminando z entre las dos ecuaciones x2 + y2 − z2 = 0 y x + 2y + 3z − 1 = 0, que definen la intersección del cono y un plano en tres dimensiones, se obtiene la sección cónica 8x2 + 5y2 − 4xy + 2x + 4y − 1 = 0, que en este caso es una elipse.
De este modo se obtienen funciones polinómicas homogéneas, que definen la curva correspondiente en el espacio proyectivo Pn.
El elemento x no está unívocamente determinado; el cuerpo también se puede ver, por ejemplo, como una extensión de C(y).
Si el cuerpo base F es el cuerpo R de los números reales, entonces x2 + y2 = −1 define una extensión algebraica de cuerpo sobre R(x), pero la curva correspondiente considerada como el lugar geométrico, no tiene puntos en R. No obstante, sí tiene puntos definidos sobre la cerradura algebraica de C sobre R. Una curva algebraica proyectiva compleja reside en un espacio proyectivo complejo n-dimensional
Una curva algebraica proyectiva compleja no singular será entonces una superficie suave orientable, entendida como variedad real, encajada en una variedad compacta real de dimensión 2n que es
Usando el concepto intrínseco de espacio tangente, los puntos P de una curva algebraica C se clasifican en suaves o no-singulares, o sino singulares.
En particular, si la curva es una curva algebraica plana proyectiva, definida por una sola ecuación polinómica homogénea f ( x , y , z ) = 0, entonces los puntos singulares son precisamente los puntos P para los que el rango de la matriz 1×(n+1) es cero, esto es, donde Dado que f es un poliniomio, esta definición es puramente algebraica y no hace supuestos acerca de la naturaleza del cuerpo F, que no necesita ser particularmente el de los números reales o complejos.
Una curva C tiene a lo sumo un número finito de puntos singulares.
Si, por ejemplo, simplemente se considera una curva en el plano real afín, donde puede haber P singulares módulo el tallo, o alternativamente como la suma dem(m−1)/2, donde m es la multiplicidad, sobre todos los puntos singulares infinitamente cerca Q del el punto singular P. Intuitivamente, un punto singular con delta invariante δ concentra δ puntos dobles ordinarios en P. El número de Milnor μ de la singularidad es el grado de la aplicación grad f(x,y)/|grad f(x,y)| en la pequeña esfera de radio ε, en el mismo sentido que el grado de una aplicación continua topológico, donde grad f es el campo vectorial gradiente (complejo) de f. Se relaciona con δ y r por la fórmula de Milnor-Jung, Otra singularidad invariante notable es la multiplicidad m, definida como el máximo entero tal que las derivadas de f de todos los grados hasta m se anulan.
Concretamente, una curva racional de dimensión n sobre F puede parametrizarse (excepto puntos aislados excepcionales) por n funciones racionales definidas en términos de un único parámetro t; cancelando los denominadores se obtienen n+1 funciones polinómicas en el espacio proyectivo.
En este modelo, el punto distinguido se toma comúnmente como un punto de inflexión al infinito; esto requiere que la curva puede ser escrita en la forma Tate-Weierstrass, que en su versión proyectiva resulta Las curvas elípticas tienen la estructura de un grupo abeliano con el punto distinguido como la ley de identidad del grupo.
Para una curva elíptica definida sobre los números complejos, el grupo es isométrico al grupo aditivo del plano complejo módulo el período de retículo de las correspondientes funciones elípticas.
