Clasificación de discontinuidades

Las funciones continuas son de suma importancia en matemática y en distintas aplicaciones.

Puede ocurrir que una función no sea continua en todo su dominio de definición.

En cualquier otro caso se dice que la función no tiene límite en ese punto.

Se dice que una función tiene límite superior por la izquierda, en un punto a, si existe una cuota superior: Ls, que el límite no supera cuando se aproxima a a por la izquierda: Del mismo modo se dice que una función tiene límite inferior por la izquierda, en un punto a, si existe una cuota inferior: Li, por debajo de la cual el límite no puede estar cuando se aproxima a a por la izquierda: Se dice que una función tiene límite superior por la derecha, en un punto a, si existe una cuota superior: Ls, que el límite no supera cuando se aproxima a a por la derecha: También se dice que una función tiene límite inferior por la derecha, en un punto a, si existe una cuota inferior: Li, por debajo de la cual el límite no puede estar cuando se aproxima a a por la derecha: Si el límite superior por la derecha y por la izquierda coinciden, se lo menciona sencillamente de límite superior, del mismo modo, si el límite inferior por la derecha y por la izquierda coinciden se lo menciona como el límite inferior.

Se dice que una función presenta una discontinuidad esencial cuando se produce algunas de las siguientes situaciones: En este tipo de discontinuidad existen tres tipos: Existen los límites por la derecha y por la izquierda del punto, su valor es finito, pero no son iguales: A este tipo de discontinuidad de primera especie se le llama salto finito, y el salto (Δy) viene dado por: Si la función tiende a c, cuando x tiende a a por la izquierda, y tiende a d cuando lo hace por la derecha, en el punto x = a, se presenta un salto, independientemente del valor de la función en ese punto.

Así podemos ver que son discontinuidades de salto finito: Si uno de los límites laterales es infinito y el otro finito, tanto si el límite por la izquierda es finito y el de la derecha infinito: Así podemos ver los casos:

como en el caso de que el límite por la izquierda sea infinito y por la derecha finito: Donde se puede ver:

Se dice que la discontinuidad es de salto infinito.

Si los dos límites laterales de la función en el punto x = a son infinitos: A este tipo de discontinuidad de primera especie se le llama discontinuidad asintótica, siendo x = a la asíntota.

NO es una discontinuidad de segunda especie una función definida en un solo punto, o más generalmente, en un conjunto insolado de puntos.

Toda función definida en ese tipo de conjuntos es continua.

Una función a pesar de ser discontinua en un punto, puede tener lo que se denomina continuidad lateral.

Una función f(x) se dice que tiene continuidad por la izquierda de un punto a, si el límite por la izquierda coincide con el valor de la función en a.

Una función f(x) se dice que tiene continuidad por la derecha de un punto a, si el límite por la derecha coincide con el valor de la función en a.

Existen funciones que no son continuas en ningún punto.

La más conocida es la función característica de Q, es decir, la función que toma como valor 1 cuando x pertenece al conjunto de los racionales, y 0 si no.

Obviamente, no se puede dibujar su curva, que está constituida por una infinidad de puntos en la recta y= 0, y una infinidad (menor) de puntos en la recta y= 1.

Una función presenta un punto de Discontinuidad evitable si en ese punto se cumple que: Pueden ser transformadas en otra función continua, dándole a f(a) el valor adecuado que la hace continua.

La función: Presenta los siguientes límites por la izquierda y por la derecha: pero la función para x= 2 no está definida: en este un caso de discontinuidad evitable y además de un modo sencillo: lo que es lo mismo: simplificando: esta función es continua para todo x de valor real y es equivalente a la primera función, excepto en que la primera es discontinua para x= 2.

Una función presenta una discontinuidad de primera especie en un punto x1, si en este punto se cumple que: se produce un salto en los extremos.