Curva elíptica
En matemáticas, las curvas elípticas se definen mediante ecuaciones cúbicas (de tercer grado).
Las curvas elípticas son «regulares», es decir, no tienen «vértices» ni autointersecciones, y se puede definir una operación binaria para el conjunto de sus puntos de una manera geométrica natural, lo que hace de dicho conjunto un grupo abeliano.
Normalmente se define la curva como el conjunto de todos los puntos (x,y) que satisfacen la ecuación anterior, y tales que x e y sean elementos de la cerradura algebraica de K. Los puntos de la curva cuyas coordenadas pertenezcan ambas a K se llaman puntos K-racionales.
Si añadimos un punto en el «infinito», obtenemos la versión proyectiva de tal curva.
Dada la curva y2 = x3 - px - q sobre el cuerpo K (cuya característica asumimos que no es ni 2 ni 3), y los puntos P = (xP, yP) (subíndice P) y Q = (xQ, yQ) en la curva, asumimos primero que xP ≠ xQ.
Entonces podemos definir R = P + Q = (xR, yR) mediante Si xP = xQ, entonces hay dos opciones: si yP = -yQ, entonces la suma se define como 0; así que el inverso de cada punto de la curva se encuentra reflejándolo en el eje x.
, no se conoce un algoritmo general para computar su rango.
Una fórmula para dicho rango viene dada por la conjetura de Birch y Swinnerton-Dyer.
La prueba reciente del último teorema de Fermat se lleva a cabo probando un caso especial de la profunda conjetura de Taniyama-Shimura que relaciona las curvas elípticas sobre los racionales con las formas modulares; dicha conjetura ha sido también completamente demostrada.
se le asocia un reticulado L y una función elíptica de Weierstrass correspondiente
Si el reticulado L está relacionado con otro reticulado cL mediante la multiplicación por un número complejo distinto de cero c, entonces las curvas correspondientes son isomorfas.
Para desarrollos ulteriores ver aritmética de variedades abelianas.
Las curvas elípticas sobre cuerpos finitos se usan en algunas aplicaciones en criptografía así como en la factorización de enteros.
La idea general en esas aplicaciones es que si tenemos un algoritmo que usa ciertos grupos finitos podemos reescribirlo usando los grupos de puntos racionales de curvas elípticas.
