Dado un conjunto de ecuaciones de polinomios — o una variedad algebraica V — definida sobre F, podemos contar el número de soluciones en Fk; y crear la función generatriz La definición correcta de Z(t) es tomar el log Z igual a G, y por lo tanto tendremos que Z(0) = 1 dado que G(0) = 0, y Z(t) es a priori una serie de potencias formal.
Por ejemplo, asumiendo que todos los Nk son 1; esto ocurre por ejemplo si se comienza con una ecuación del tipo X = 0, de forma que geométricamente estamos tomando V en un punto.
En este caso se tiene que Otro caso más interesante es, si V es la recta proyectiva sobre F. Si F tiene una cantidad q de elementos, entonces ésta tiene q + 1 puntos, incluyendo como corresponde, el punto del infinito.
En la práctica hace de Z una función racional de t, algo que resulta interesante aún en el caso en que V sea una curva elíptica sobre un cuerpo finito.
(Para mayores detalles ver función zeta de Hasse-Weil).
Esto explica también por qué se utiliza la derivada logarítmica con respecto de s. Con estos antecedentes, los productos de Z en los dos casos resultan ser
El teorema de Hasse indica que ellas poseen el mismo valor absoluto; y esto a su vez tiene consecuencias inmendiatas en el número de puntos.
Esto lo condujo a proponer las conjeturas generales de Weil, finalmente demostradas una generación después.
La función zeta local Z(X, t) es vista como una función de variable compleja s mediante el cambio de variables q-s.
En el caso donde X es la variedad V discutida arriba, los puntos cerrados son las clases de equivalencia x=[P] de puntos P en