Serie de Dirichlet
En matemáticas, una serie de Dirichlet es toda serie del tipo donde s y an para n = 1, 2, 3, ... son números complejos.
Las series de Dirichlet juegan un número importante de roles en la teoría analítica de números.
La definición más popularizada de la función zeta de Riemann es una serie Dirichlet, tal como son las funciones L de Dirichlet.
Se conjetura que las series de clase tipo Selberg satisfacen la hipótesis generalizada de Riemann.
La serie ha sido nombrada en honor a Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet.
es una sucesión de números complejos,
es una sucesión real, creciente y divergente.
Algunos autores exigen que la sucesión
sea además de términos positivos.
Dicha exigencia se cumple en nuestra definición excepto para una cantidad finita de términos.
se obtiene la serie ordinaria de Dirichlet: La serie de Dirichlet más famosa es que es la función zeta de Riemann.
Otra serie de Dirichlet es: donde μ(n) es la función de Möbius.
Es posible obtener esta y varias de las series indicadas a continuación realizando una inversión de Möbius y una convolución de Dirichlet a series conocidas.
Por ejemplo, dado un carácter de Dirichlet
es una función L de Dirichlet.
Otras identidades incluyen donde φ(n) es la función indicatriz de Euler donde σa(n) es la función divisor.
Otras identidades que involucran a la función divisor d=σ0 son El logaritmo de la función zeta está dado por para
es la función de von Mangoldt.
La derivada logarítmica es por lo tanto Estos últimos dos son casos especiales de una relación más generalizada para las derivadas de la serie de Dirichlet, indicadas a continuación.
Dada la función de Liouville
, se tiene que Otro ejemplo, en cambio se relaciona con la suma de Ramanujan: Dado para una función completamente multiplicativa
, y asumiendo que la serie converge para
la función de von Mangoldt.
Si tanto F(s) y G(s) son absolutamente convergentes para s> a y s > b entonces se tiene que:
( a + i t )
{\displaystyle {\frac {1}{2T}}\int _{-T}^{T}dtF(a+it)G(b-it)dt=\sum _{n=1}^{\infty }f(n)g(n)n^{-a-b}}
{\displaystyle {\frac {1}{2T}}\int _{-T}^{T}dt|F(a+it)|^{2}dt=\sum _{n=1}^{\infty }[f(n)]^{2}n^{-2a}}
