En matemáticas, la suma de Ramanujan, llamada así por Srinivasa Ramanujan y normalmente escrita como cq(n), se define como donde n y q son los dos enteros positivos que definen la suma; (a,q)=1 indica que a solo puede tomar valores cuyo máximo común divisor con respecto a q sea 1 (es decir, que a y q sean coprimos entre sí); y e(x) es la función exponencial.
Es fácilmente demostrable que la suma de Ramanujan es multiplicativa, por ejemplo, para cualquier (q,r) = 1.
Otra propiedad es que cq(n) es igual a su complejo conjugado, y por tanto real.
Escribiendo d como el máximo común divisor de q y n, y nombrando la función de Möbius y la función fi de Euler por μ y φ respectivamente, cumple la siguiente identidad: Ramanujan evaluó infinitas series de la forma para diversas secuencias (aq).
Otras identitidades obtenidas por Ramanujan son y donde r2(n) son el número de representaciones de n como x2 + y2 en enteros x e y.