Función divisor
En matemáticas, y específicamente en teoría de números, una función divisor es una función aritmética relacionada con los divisores de un entero.
Cuando nos referimos a la función divisor, este cuenta el número de divisores de un entero.
Las funciones divisor fueron estudiadas por Ramanujan, quien dio un número importante de congruencias e identidades.
La función suma de divisores positivos
(la función tau) son usadas para denotar
(esto es, todos los divisores a excepción de
se forma por repetidas aplicaciones de la función suma alícuota.
La consecuencia de esto es que, si nosotros escribimos: donde r = ω(n) es el número de distintos factores primos de n, pi es el i-ésimo factor primo, y ai es la máxima potencia de pi por el cual n es divisible, entonces nosotros tenemos la cual es equivalente a una fórmula más útil: Una ecuación para calcular τ(n) es Por ejemplo, si n es 24, este tiene dos factores primos (p1 es 2; p2 es 3); notando que 24 es el producto de 23×31, a1 es 3 y a2 es 1.
Luego nosotros podemos calcular τ(24) de esta manera:
Los ocho divisores contados por la fórmula son 1, 2, 4, 8, 3, 6, 12, y 24.
Como un ejemplo, para dos primos distintos p y q, sea n = pq.
entonces En 1984, Roger Heath-Brown probó que ocurre un número infinito de veces.
[1] Dos Series de Dirichlet involucaran la función divisor: y Una serie de Lambert involucra la función divisor: para arbitrarios números complejos |q| ≤ 1 y a.
En notación de o-pequeña, la función divisor satisface la desigualdad: En notación de O-grande, Dirichlet mostró que el orden promedio de la función divisor satisface la siguiente desigualdad: donde
El comportamiento de la función sigma es irregular.
Este resultado es conocido como el teorema de Grönwall, publicado en 1913.
En 1984 Guy Robin probó que se cumple si y solo si la Hipótesis de Riemann se cumple (este es el Teorema de Robbins).
El valor más grande conocido que no cumple la desigualdad es n=5040.
Si la hipótesis de Riemann es cierta, no debe haber excepciones más grandes.
Un comportamiento asintótico relacionado fue dado por Jeffrey Lagarias en 2002, quien probó que la hipótesis de Riemann es equivalente a la expresión para todo número natural n, donde
