Número perfecto
Un número perfecto es un número entero positivo que es igual a la suma de sus divisores propios positivos.
Por ejemplo, los divisores propios de 6 son 1, 2 y 3, pero no 6.
Los siguientes números perfectos son 28, 496 y 8128.
El matemático Euclides descubrió que los cuatro primeros números perfectos vienen dados por la fórmula
: Al darse cuenta de que 2n – 1 es un número primo en cada caso, Euclides demostró que la fórmula 2n–1(2n – 1) genera un número perfecto par siempre que 2n – 1 es primo.
Los matemáticos de la Antigüedad hicieron muchas suposiciones sobre los números perfectos basándose en los cuatro que ya conocían.
Muchas de estas suposiciones han resultado ser falsas.
Dos de las otras suposiciones equivocadas eran: El quinto número perfecto (33 550 336) tiene 8 dígitos, contradiciendo así la primera suposición.
En cuanto a la segunda, el quinto número perfecto acaba en 6, pero también el sexto (8 589 869 056) termina en 6.
(El que la última cifra de un número perfecto par expresado en base 10 siempre sea 6 u 8 no es difícil de demostrar).
Hoy en día, a los números primos generados por la fórmula 2n – 1 se los conoce como números primos de Mersenne, en honor al monje del siglo XVII Marin Mersenne, quien estudió teoría de números y números perfectos.
Posteriormente, Leonhard Euler demostró en el siglo XVIII que todos los números perfectos pares se generan a partir de la fórmula que ya descubrió Euclides: Teorema de Euclides-Euler.
No se conoce la existencia de números perfectos impares.
Sin embargo, existen algunos resultados parciales al respecto.
Si existe un número perfecto impar debe ser mayor que 10300, debe tener al menos 8 factores primos distintos (y al menos 11 si no es divisible por 3).
El 7 de diciembre de 2018, al descubrirse el número primo más grande 282 589 933 − 1 ( o M82 589 933 en la notación usual), se obtuvo entonces el mayor número perfecto encontrado hasta esa fecha, número 51 de la lista, con 49.724.095 dígitos: El primo mencionado fue descubierto por Patrick Laroche como parte del proyecto Great Internet Mersenne Prime Search (GIMPS).
, donde «n» es un número entero positivo cualquiera distinto de cero.
y distribuimos el producto del segundo miembro obtenemos: La expresión
es un número primo de Mersenne y vemos que el término derecho de la identidad adopta la forma correspondiente a la definición de número triangular.
es la potencia correspondiente a un número primo de Mersenne aumentado en una unidad.
, para «n» un número entero positivo cualquiera distinto de cero.
Son cuestiones abiertas: Aparte, y considerando la suma de los divisores positivos, existen otros tipos de números.
