Triángulo de Pascal
Es llamado así en honor al filósofo y matemático francés Blaise Pascal, quien introdujo esta notación en 1654, en su Tratado del triángulo aritmético.
[1] Si bien las propiedades y aplicaciones del triángulo las conocieron matemáticos indios, chinos, persas, alemanes e italianos antes del triángulo de Pascal, fue Pascal quien desarrolló muchas de sus aplicaciones y el primero en organizar la información de manera conjunta.
[2] El triángulo de Tartaglia se puede generalizar a dimensiones mayores.
[3] La primera representación explícita de un triángulo de coeficientes binomiales data del siglo X, en los comentarios de los Chandas Shastra[4], un libro antiguo indio de prosodia del sánscrito escrito por Pingala alrededor del año 200 a. C.[5] Las propiedades del triángulo fueron discutidas por los matemáticos persas Al-Karaji (953–1029)[6] y Omar Khayyám (1048–1131); de aquí que en Irán sea conocido como el triángulo Khayyam-Pascal o simplemente el triángulo Khayyam.
Este es el primer registro del triángulo en Europa.
Algunas de estas propiedades eran ya conocidas y admitidas, pero sin demostración.
Para demostrarlas, Pascal pone en práctica una versión acabada de inducción matemática.
Demuestra la relación entre el triángulo y la fórmula del binomio.
Se comienza desde la cúspide con el número «1» hacia abajo(infinito), a modo de "árbol"; se clasifica en filas, empezando por la fila cero(el «1» de la cúspide).
Las diagonales que empiezan desde el «1» situado en la cabeza del triángulo valen siempre 1.
Este triángulo fue ideado para desarrollar las potencias de binomios.
Esta expresión se denomina binomio de Newton.
También se puede generalizar este resultado para cualquier valor de
Si a cada nodo de este triángulo en cada fila lo denominamos z, nos quedaría la serie que describe la expresión general del modo: En esta serie
, dónde j va desde 1 hasta n. La construcción del triángulo está relacionada con los coeficientes binomiales según la fórmula (también llamada regla de Pascal) combinatoria.
Todo esta propuesta de correlato entre combinatoria y el triángulo de Tartaglia viene dada por la regla general antes mencionada: Por ejemplo, para el binomio
Esta imagen representa el triángulo de Pascal matricialmente, y además aplicable a combinatoria.
Concretamente, el número de la fila n y la columna p, corresponde a
Es posible «enderezarlo» de tal forma que su dibujo quede como un triángulo rectángulo.
La siguiente columna deja un lugar vacío en la primera fila y sigue con la sucesión de números naturales:
La tercera columna deja dos filas vacías y comienza con la sucesión de los números triangulares:
Existe una propiedad sobre el triángulo de Pascal que indica que si el primer elemento de una fila (sin contar los «1») es un número primo, entonces todos los demás elementos de la fila serán divisibles por él.
En vez de considerar las potencias de a + b, se puede considerar las del trinomio a + b + c. De esta manera, (a + b + c)n es una suma de monomios de la forma λp, q, r ·ap·bq·cr, con p, q y r positivos, p + q + r = n, y λp, q, r un número natural que se llama coeficiente trinomial.
[14][15] Los cálculos son similares a los del coeficiente binomial, y se dan mediante la siguiente expresión: en subconjuntos de p, q y r elementos.
Estos coeficientes se pueden considerar como la analogía tridimensional del triángulo de Pascal.
Los siguientes códigos del triángulo de Pascal se basan en la propiedad:
, teniendo en cuenta que n es un valor perteneciente al triángulo de Pascal, fila es el número de nivel (altura) que nos encontramos del triángulo de Pascal, se empezaría por "1 1", el cual sería la fila 1, y la posición se refiere al índice del dato en la fila, leído de izquierda a derecha.
Así pues, en la segunda fila del triángulo de Pascal tenemos:
Y teniendo en cuenta que se hace uso del factorial.
En cambio, en el código de Python se realiza mediante la recursividad, siguiendo la siguiente definición:
