Número primo de Mersenne
Se cumple que todos los números de Mersenne,
Se denominan así en memoria del filósofo del siglo XVII Marin Mersenne, quien en su Cogitata Physico-Mathematica realizó una serie de postulados sobre ellos que solo pudieron refinarse tres siglos después.
También compiló una lista de números primos de Mersenne con exponentes menores o iguales a 257, y conjeturó que eran los únicos números primos de esa forma.
Su lista solo resultó ser parcialmente correcta, ya que por error incluyó
, que son primos; y su conjetura se revelaría falsa con el descubrimiento de números primos de Mersenne más grandes.
No proporcionó ninguna indicación de cómo dio con esa lista, y su verificación rigurosa solo se completó más de dos siglos después.
[2] El número primo más grande conocido en una fecha dada casi siempre ha sido un número primo de Mersenne: desde que empezó la era electrónica en 1951 siempre ha sido así salvo en 1951 y entre 1989 y 1992.
DemostraciónSi n es un número natural, por el teorema del binomio se tiene: Tomando
sea estrictamente mayor que 1, y la suma
Esto facilita la búsqueda de nuevos números primos de Mersenne Mn, ya que solo hay que comprobar la primalidad de aquellos para los que n es primo.
Si p es un número primo distinto de 2, cualquier primo q que divida a 2p-1 debe ser uno más que un múltiplo de 2p.Esta proposición también se cumple si
Demostración Si q es un primo que divide
Entonces, como p y q − 1 deben ser primos entre sí, una nueva aplicación del Pequeño Teorema de Fermat muestra que
tal que (q − 1)·x ≡ 1 (mod p), y por tanto un número k tal que (q − 1)·x − 1 = kp.
≡ 1 (mod q), al elevar ambos lados de la congruencia a la potencia x resulta
≡ 1 (mod q), al elevar ambos lados de esta segunda congruencia a la potencia k resulta
Con esto, la premisa inicial de que p no divide q − 1 es insostenible.
Por reciprocidad cuadrática, cualquier módulo primo del cual 2 tenga raíz cuadrada es congruente con
La siguiente tabla muestra los números primos de Mersenne conocidos: No se conoce si existen más números primos de Mersenne entre el 48.º (M43.112.609) y el 52.º (M 136279841 ).
Por poner un ejemplo histórico, el 29.º número primo de Mersenne fue descubierto después del 30.º y el 31.º.
Desmentida la conjetura original de Mersenne (que establecía una lista de números primos de Mersenne menores o iguales que M257 y afirmaba que no existían más que esos), han surgido otras preguntas abiertas relacionadas con la caracterización de estos números.
La Nueva conjetura de Mersenne o Conjetura de Bateman, Selfridge y Wagstaff (Bateman et al.
1989) establece que para cada número natural impar p, si se cumplen las dos primeras de las siguientes condiciones, también se cumple la tercera: Si p es un número compuesto impar, entonces tanto 2p − 1 como (2p + 1)/3 son compuestos.
Por tanto, solo es necesario examinar números primos para verificar esta conjetura.
Sin embargo, según Robert D. Silverman, John Selfridge declaró que la NCM es "obviamente cierta" ya que fue elegida con el fin de encajar en los datos conocidos y los contraejemplos más allá de esos casos son progresivamente más improbables.
Su página web contiene la verificación de los resultados obtenidos hasta este número.
Euclides, muchos siglos antes que Mersenne, ya conocía estos números y encontró una fuerte relación entre ellos y los números perfectos.
Asimismo, Euler demostró en el siglo XVIII que todos los números perfectos pares son de la forma M·(M+1)/2: Teorema de Euclides- Euler.
No se conocen en la actualidad números perfectos impares, y se sospecha que no existe ninguno.
Los números repunit (del inglés repeated unit, "unidad repetida") son los que, en una base dada, se representan como una cadena de unos.
