es a su vez el número de Mersenne
A menudo se consideran solamente los números dobles de Mersenne que son primos.
es primo (puede ver la demostración en el artículo "Número de Mersenne"), se tiene que un número doble de Mersenne
es a su vez un número primo de Mersenne.
Los primeros valores de p para los cuales
Para p = 13, 17, 19 y 31, se han hallado factores de forma explícita, con lo que está demostrado que los números dobles de Mersenne correspondientes son compuestos.
Por tanto, el candidato más pequeño para ser un número doble de Mersenne primo es
Con aproximadamente 6,94 × 1017 cifras, este número es demasiado grande para cualquier test de primalidad de los que se conocen en la actualidad, aunque se sabe que no tiene ningún factor primo menor que 4 × 1033.
[1] He aquí la lista de los números dobles de Mersenne primos que se conocen en la actualidad:[2] El siguiente candidato más pequeño para convertirse en el próximo doble primo de Mersenne es
Siendo aproximadamente 1.695×10694127911065419641, este número es demasiado grande para cualquier test de primalidad actualmente conocido.
No tiene factor primo por debajo de 1 × 1036.
[3] Se conjetura con que probablemente no haya otros primos de Mersenne dobles además de los cuatro conocidos.
[2][4] Los factores primos más pequeños de cada
(donde p es el n-ésimo número primo) son los factores siguientes: Sea
[5] Se dice[6] que a Catalan se le ocurrió esta sucesión tras descubrir Lucas en 1876 que
Aunque los primeros cinco términos son primos, ningún método conocido puede probar que cualquier otro término sea primo (en un tiempo razonable) simplemente porque son números demasiado grandes.
respecto a algún primo pequeño
y, por lo tanto, refutaría su primalidad.
tendría que ser de la forma
Además, debido a que
es compuesto, el descubrimiento de un término compuesto en la secuencia descartaría la posibilidad de más números primos en la secuencia.