Aritmética modular
La adición simple daría como resultado 7 + 8 = 15, pero a las 15:00 se lee como 3:00 en la esfera del reloj porque los relojes "se envuelven" cada 12 horas y el número de hora comienza de nuevo en cero cuando llega a las 12.
Del mismo modo, las 8:00 representa un período de 8 horas, y el doble de esto daría 16:00, que se lee como 4:00 en la esfera del reloj, escrito como
La aritmética modular puede ser construida matemáticamente mediante la relación de congruencia entre enteros, que es compatible con las operaciones en el anillo de enteros: suma y multiplicación.
, ésta se define de la siguiente manera:[2] a y b se encuentran en la misma "clase de congruencia" módulo n, si ambos dejan el mismo resto si los dividimos entre n, o, equivalentemente, si a − b es un múltiplo de n. Esta relación se puede expresar cómodamente utilizando la notación de Gauss:[2] Así se tiene por ejemplo: ya que ambos, 63 y 83 dejan el mismo resto (3) al dividir entre 10, o, equivalentemente, 63 − 83 es un múltiplo de 10.
Otro ejemplo; cuando el módulo es 12, entonces cualesquiera dos números que divididos entre doce den el mismo resto son equivalentes (o "congruentes") uno con otro.
Los números: ..., −34, −22, −10, 2, 14, 26,... son todos "congruentes módulo 12" unos con otros, ya que cada uno deja el mismo resto (2) cuando los dividimos entre 12.
En otras palabras, la suma y la multiplicación están definidas sobre
Los detalles están recogidos en el teorema de congruencia lineal.
Sistemas de congruencias más complicados con módulos diferentes se pueden resolver usando el teorema chino del resto o el método de sustitución sucesiva.
[7] Se puede probar que cada cuerpo finito es una extensión de
Usando esta definición, podemos generalizar a módulos no enteros.
En Álgebra abstracta se ve que la aritmética modular es un caso especial del proceso de crear un anillo cociente de un anillo módulo un ideal.
Como pasaba con el anillo de enteros, esto se convierte en una relación de equivalencia, y la suma y la multiplicación se convierten en operaciones bien definidas sobre el anillo factorial
Por lo tanto, existen únicos k,t∈ℤ tales que nk=a−b y nt=b−c.
Al sumar estas cantidades, se logra n(kc+tb)=ac−bd.
Considere la hipótesis de inducción p(k):ak≡bk (mod n).
y por tanto, Las operaciones de suma y producto en ℤ se pueden trasladar a ℤm puesto que son compatibles con la estructura de este último conjunto.
Se denomina ecuación lineal de congruencia a la expresión ax≡b (mod n).
El número entero x: corresponde a la solución de la ecuación.
¿Existe algún criterio para determinar cuando una Ecuación Lineal de Congruencia tiene soluciones enteras?
Sin embargo (y nuevamente, al igual que en las ecuaciones diofánticas lineales), una ecuación lineal de congruencia puede poseer más de una solución.
, mk } de números primos entre sí (esto es mcd(mi, mj) = 1 para todo i != j).
Entonces cualquier número positivo S menor que m = m1m2 · · · mk se puede expresar mediante una n-tupla (r1,r2, .
Además, por el teorema chino del resto existe un único x ∈ {0, 1, 2, .
Por tanto, las operaciones aritméticas se pueden realizar entre las r-uplas – cuyas coordenadas son todas menores o iguales que max1≤i≤r mi –, pudiéndose realizar estas operaciones en paralelo.
Por ejemplo se pueden considerar m1 = 99, m2 = 98, m3 = 97 y m4 = 95 para trabajar con números menores o iguales que m = m1m2m3m4 = 89403930.
Otros enteros que pueden escogerse son los de la forma 2k − 1 con k ∈ ℕ puesto que es relativamente fácil encontrar conjuntos de estos enteros primos entre sí (mcd(2a − 1, 2b −1) = 2mcd(a,b) − 1).
La aritmética modular, estudiada sistemáticamente en primer lugar por Carl Friedrich Gauss al final del siglo XVIII, se aplica en teoría de números, álgebra abstracta, criptografía, y en artes visuales y musicales.
En música, debido a la equivalencia de octavas y equivalencia enarmónica (esto es, los pasos en razones de 1/2 o 2/1 son equivalentes, y Do# es lo mismo que Reb), la aritmética modular se usa cuando consideramos la escala de doce tonos igualmente temperada, especialmente en el dodecafonismo.
En artes visuales esta aritmética puede usarse para crear patrones artísticos basados en las tablas de multiplicación módulo n (ver enlace abajo).
