, y que por lo tanto tiene una raíz cuadrada en la aritmética de módulo
[1][2] A los enteros que no son congruentes con cuadrados perfectos módulo
se les denomina no-residuos cuadráticos.
En el estudio de los residuos cuadráticos es conveniente limitarse al caso en el que el módulo es un primo
, ya que entonces tenemos un comportamiento mucho más sencillo, y muchas propiedades de los residuos para módulos generales pueden derivarse de este caso usando el teorema chino del resto, y otros resultados de la resolución de congruencias.
Gauss[3] usó R y N para denotar residuos y no residuos, respectivamente; A pesar de que esta notación es compacta y conveniente para algunos propósitos,[4][5] una mejor notación es el símbolo de Legendre, que también se conoce como carácter cuadrático, que se define para todos los números enteros a y números primos impares p como Una ventaja de esta notación sobre la de Gauss es que el símbolo de Legendre es una función que puede usarse en fórmulas.
Los residuos cuadráticos son útiles para varios test de primalidad, así como para algoritmos que permiten factorizar enteros.
[7] Uno de los problemas abiertos más importantes sobre residuos cuadráticos es determinar el orden de magnitud del mínimo no-residuo cuadrático positivo
El mejor resultado conocido, debido a Burguess, asegura que la expresión está acotada para todos los primos, y se conjetura que el resultado podría seguir siendo cierto si sustituimos el denominador por