En teoría de grupos, el teorema de Lagrange es un resultado importante que relaciona el orden de un grupo finito
El teorema afirma que si
son el orden del grupo
y el orden del subgrupo
El recíproco del teorema de Lagrange, en general, no se cumple, pues existen grupos de orden
que pueden no tener un subgrupo de orden
a pesar de que
Por ejemplo, el grupo simétrico
[1] En general, los grupos no resolubles son ejemplos en los que el recíproco del teorema de Lagrange no se cumple.
En cambio, el recíproco del teorema de Lagrange es siempre cierto para el caso de grupos abelianos, y por tanto lo es también para grupos cíclicos.
El teorema debe su nombre al matemático italiano Joseph-Louis de Lagrange, quien lo publicó en 1771.
[2] Consideremos un grupo finito G, y un subgrupo suyo H. En G se define una relación de equivalencia
dada por: Dado que sabemos por hipótesis que G es finito, sabemos que únicamente puede existir un número finito de clases de equivalencia distintas, es decir, el índice de H en G es finito.
Supongamos entonces que las clases de equivalencia distintas son:
Dado que son distintas y son todas las posibles, G es la unión disjunta de estas clases: Sea
Por tanto, los elementos de la clase
son todos distintos, ya que: Así,
y de hecho m es el índice
, ya que: Por lo tanto: quedando con esto demostrado el enunciado del teorema.
cualquiera, el subgrupo generado por a debe satisfacer el teorema de Lagrange.
Por lo tanto, el orden de cualquier elemento de G, que coincide con el cardinal del subgrupo generado por él, divide al orden de G.[3] Consecuencia inmediata de lo anterior es que todo grupo
es cíclico, pues el orden de un elemento
distinto de la identidad sólo puede ser
A partir del teorema de Lagrange puede, por ejemplo, demostrarse que si
son subgrupos finitos de un grupo
(este conjunto puede no ser un subgrupo de
El teorema de Lagrange proporciona una forma interesante de demostrar que el orden del grupo simétrico
El teorema de Lagrange es en realidad un caso especial del hecho siguiente: Si
(fórmula de transitividad del índice) En este caso
Así, el teorema de Lagrange se convierte en un caso particular de este hecho, pues (1) resulta de tomar