Teorema de Lagrange (teoría de grupos)

En teoría de grupos, el teorema de Lagrange es un resultado importante que relaciona el orden de un grupo finitoson el orden del grupoy el orden del subgrupoEl recíproco del teorema de Lagrange, en general, no se cumple, pues existen grupos de ordenque pueden no tener un subgrupo de ordena pesar de quePor ejemplo, el grupo simétrico[1]​ En general, los grupos no resolubles son ejemplos en los que el recíproco del teorema de Lagrange no se cumple.En cambio, el recíproco del teorema de Lagrange es siempre cierto para el caso de grupos abelianos, y por tanto lo es también para grupos cíclicos.El teorema debe su nombre al matemático italiano Joseph-Louis de Lagrange, quien lo publicó en 1771.[2]​ Consideremos un grupo finito G, y un subgrupo suyo H. En G se define una relación de equivalenciadada por: Dado que sabemos por hipótesis que G es finito, sabemos que únicamente puede existir un número finito de clases de equivalencia distintas, es decir, el índice de H en G es finito.Supongamos entonces que las clases de equivalencia distintas son:Dado que son distintas y son todas las posibles, G es la unión disjunta de estas clases: SeaPor tanto, los elementos de la claseson todos distintos, ya que: Así,y de hecho m es el índice, ya que: Por lo tanto: quedando con esto demostrado el enunciado del teorema.cualquiera, el subgrupo generado por a debe satisfacer el teorema de Lagrange.Por lo tanto, el orden de cualquier elemento de G, que coincide con el cardinal del subgrupo generado por él, divide al orden de G.[3]​ Consecuencia inmediata de lo anterior es que todo grupoes cíclico, pues el orden de un elementoA partir del teorema de Lagrange puede, por ejemplo, demostrarse que sison subgrupos finitos de un grupo(este conjunto puede no ser un subgrupo deEl teorema de Lagrange proporciona una forma interesante de demostrar que el orden del grupo simétricoEl teorema de Lagrange es en realidad un caso especial del hecho siguiente: Sia su vez un subgrupo de(fórmula de transitividad del índice) En este casoAsí, el teorema de Lagrange se convierte en un caso particular de este hecho, pues (1) resulta de tomarcomo el subgrupo trivial de