Grupo simétrico
En matemáticas, el grupo simétrico sobre un conjunto
, es el grupo formado por las aplicaciones biyectivas de
elementos, y se denota por
El orden de este grupo es n!, y no es abeliano para
El teorema de Cayley afirma que todo grupo
es isomorfo a un subgrupo de su grupo simétrico
En el caso particular de que
sea finito de orden
es isomorfo a un subgrupo de
[2] Hay diversas formas de representar una permutación.
El cálculo de la composición puede seguirse de un modo visual, recordando que al componer funciones se opera de derecha a izquierda:
Recordemos que una trasposición es una permutación que intercambia dos elementos y fija los restantes.
Toda permutación se descompone como producto de trasposiciones.
Pero es posible reducir aún más este sistema restringiéndonos a las trasposiciones de la forma
En efecto, para i Las clases de conjugación de Sn se corresponden con la estructura de dicha descomposición en ciclos: dos permutaciones son conjugadas en Sn si y sólo si se obtienen como composición del mismo número de ciclos disjuntos de las mismas longitudes. El grupo S3, formado por las 6 permutaciones de tres elementos tiene tres clases de conjugación, listadas con sus números de elementos: El grupo S4, consistente en las 24 permutaciones de 4 elementos tiene 5 clases de conjugación: En general, cada clase de conjugación en Sn se corresponderá con una partición entera de n y podrá ser representada gráficamente por un diagrama de Young. Así, por ejemplo, las cinco particiones de 4 se corresponderían con las cinco clases de conjugación listadas anteriormente: Si asociamos a cada permutación su matriz permutación obtenemos una representación que en general no es irreducible.
