En teoría de grupos, se dice que dos grupos son isomorfos o isomórficos si existe un isomorfismo entre ellos, es decir, un homomorfismo de grupos biyectivo.
Desde un punto de vista abstracto, los grupos isomorfos tienen la misma estructura y mismas propiedades y sólo se diferencian por los símbolos utilizados para denotar al conjunto subyacente, sus elementos y la operación.
[1] El isomorfismo de grupos es una relación de equivalencia, y por tanto permite clasificar los grupos «salvo isomorfismo».
Cuando dos grupos son isomorfos, se dice que pertenecen a la misma clase de isomorfía o que tienen el mismo tipo de isomorfismo.
es un isomorfismo de grupos si se cumplen las dos condiciones siguientes:[2] En tal situación se dice que los grupos
son isomorfos y se denota por
Los isomorfismos de grupos permiten describir una relación matemática, que se puede expresar como: «el grupo G es isomorfo al grupo H» si existe un isomorfismo
Esta relación es una relación de equivalencia: Dados y1, y2
cualesquiera, existen x1, x2
tales que por ser
Por tanto Dados x, y
son aplicaciones biyectivas entonces su composición es biyectiva.
Existen tres teoremas, formulados por Emmy Noether, que relacionan cocientes, subgrupos normales y homomorfismos, y que tienen análogos para la mayoría de estructuras algebraicas.
{\displaystyle f:G\longrightarrow G'}
un homomorfismo de grupos, con núcleo
k e r
≈ i m
son subgrupos de un grupo
es un subgrupo de
son subgrupos normales de un grupo
En general, un homomorfismo es una función entre dos grupos distintos.
Sin embargo, dado un grupo G es posible definir endomorfismos: funciones de la forma
que son homomorfismos de G en sí mismo.
No todos son biyectivos, pero cuando lo son decimos que
El conjunto de automorfismos de un grupo G, junto con la operación de composición de funciones, tiene estructura de grupo, que se denomina grupo de automorfismos de G, y se denota Aut(G).
Entre estos hay un subgrupo de particular importancia formado por los automorfismos interiores de G, que son aquellos definidos por la conjugación respecto de un elemento del grupo.
Este subgrupo, que es normal, se denota por Inn(G).
El cociente Aut(G)/Inn(G) se denomina grupo de automorfismos exteriores, y se denota por Out(G).