En álgebra abstracta, y más concretamente en teoría de grupos, se denomina conjugación a un tipo de acción de un grupo sobre sí mismo.
Un ejemplo de este tipo de operación es la semejanza de matrices.
un grupo, y sea
uno de sus elementos.
Se denomina conjugado de
al elemento
Entonces se dice que los elementos
son conjugados.
En un grupo, se puede definir la relación: tal que
precisamente si
son conjugados.
La relación así definida es una relación de equivalencia.
Por tanto, los elementos conjugados de un elemento
forman una clase, llamada clase de conjugación de
:[2] Como la conjugación por un elemento fijo del grupo es un isomorfismo de grupos, cada dos elementos de una misma clase de conjugación son indistinguibles desde el punto de vista de la estructura de grupo.
En particular, tienen el mismo orden.
Considérese la acción de
{\displaystyle {\begin{array}{rrcl}\phi :&G\times G&\longrightarrow &G\\&(g,a)&\mapsto &b=g^{-1}\circ a\circ g\end{array}}}
que viene dada por la conjugación sucesiva por los diferentes elementos
Bajo este punto de vista: Dado un subconjunto
, se define el conjugado de
como el subconjunto: En particular, si el subconjunto original es un subgrupo
, entonces el conjugado de
por cualquier elemento