En teoría de grupos, el normalizador de un subconjunto S de un grupo G es el mayor subgrupo de G para el cual la acción de conjugación deja invariante a S. Cuando el conjunto consta de un solo elemento, se habla entonces de un centralizador.
Si G es un grupo y S un subconjunto de G, el normalizador de S está definido por
{\displaystyle N(S)=\{g\in G:gSg^{-1}=S\}}
es el conjunto definido como
{ g s
En particular, si S es un subgrupo de G, entonces N(S) es el mayor subgrupo de G en el cual S es un subgrupo normal.
El resultado más importante es que el normalizador de un subconjunto siempre es un subgrupo.
Si G es un grupo y S un subconjunto de G, entonces el normalizador N(S) es un subgrupo de G. Primero demostramos que si
{\displaystyle b\in N(S)}
ya que para cualquier
que satisfaga
Procedemos ahora a la prueba principal.
) s ( a
observamos que a está conjugando al elemento
, el cual a su vez es la conjugación por
y por tanto
y entonces la expresión original se reescribe como
que, al estar a en
, también pertenece a S. Concluimos entonces que
) s ( a
y por tanto
Un caso de particular interés es cuando el subconjunto es al mismo tiempo un subgrupo.
Si H es un subgrupo de G, entonces H es un subgrupo normal de N(H).
Además, N(H) es el mayor subgrupo con esta propiedad.
Como consecuencia del teorema anterior, un subgrupo H de G es normal en G si y sólo si N(H) = G. Si H es un subgrupo de G entonces el número de clases conjugadas de H en G es igual al índice del normalizador en el grupo:
{\displaystyle [G:N(H)]}
y por tanto divide al orden del grupo cuando éste es finito.
Además, dos clases de conjugación coinciden,
, si y sólo si
{\displaystyle ab^{-1}\in N(H)}