Grupo (matemática)
[1] La aparición de los grupos en diversas áreas del conocimiento (tanto dentro como fuera de las matemáticas) los convierte en un principio central en torno al cual se perfilan y se establecen las matemáticas contemporáneas, con aplicación inmediata en otras áreas científicas.
[3] El conjunto de los enteros está formado por los números naturales, sus negativos y el cero[nota 1].
Contiene por tanto a todos los números reales que no tienen parte decimal.
Comúnmente se describe como Las propiedades de esta operación aritmética ayudarán a ilustrar el concepto de grupo: Estas cuatro propiedades también se verifican para una gran variedad de operaciones, no necesariamente numéricas, lo cual da pie a definir un concepto abstracto -el de grupo- en el que se engloben todas ellas.
Esa definición, basada en axiomas, permite desarrollar una teoría abstracta -la teoría de grupos-, cuyos resultados son aplicables a todos los grupos independientemente de su formalización concreta, pues los resultados se derivan únicamente de la estructura algebraica común a todos ellos.
Esta es la propiedad conmutativa, que sin embargo no se asume como cierta en general para todos los grupos, por lo que en teoría de grupos se presta especial atención al orden de los operandos.
es un grupo si se cumplen las siguientes condiciones (llamadas axiomas de grupo):[5] A veces, para simplificar el discurso se dice
se denomina abeliano (o conmutativo) si además se satisface la propiedad conmutativa la cual, sin embargo, no es un requisito imprescindible: existen grupos no abelianos.
[7][8] La más básica de todas es el magma: un par (E,
es total, y por tanto satisface el primer axioma de grupo.
En consecuencia, un semigrupo satisface los dos primeros axiomas de grupo.
Las definiciones anteriores no son excluyentes: un grupo satisface todos los axiomas, y por tanto, todo grupo es un magma, un semigrupo y un monoide.
No obstante, en ausencia de un elemento neutro se puede definir el concepto de división: dados a y b se dice que b es divisible por a si existen elementos x e y, únicos tales que En tal caso se define la división por la izquierda como
Un magma con división (entre cualquier pareja de elementos) se denomina cuasigrupo.
no sea total, la estructura más sencilla es el semigrupoide, que solo cumple la asociatividad.
[11] Los grupos conmutativos son los que, además verifican la propiedad conmutativa, son habitualmente denominados como grupos abelianos en honor al matemático danés Niels Henrik Abel que en su importantísima aportación, demostró la irresolución de la quíntica mediante radicales en 1846 a partir de Ruffini en lo que se denomina teorema de Abel-Ruffini y debido al uso reiterado de grupos conmutativos en sus investigaciones.
Debido a que los primeros grupos estudiados en la historia fueron los multiplicativos, su nomenclatura y notación se llegó a utilizar de forma extendida en la generalización de las definiciones axiomáticas y abstractas en teoría de grupos; aunque es necesariamente recomendable, utilizar la notación y nomenclatura propias del álgebra abstracta.
La importancia crucial de la teoría de grupos tanto en física como en matemática radica en que los isomorfismos de cualquier estructura, de cualquier teoría, forman siempre un grupo y que, en los casos más importantes, los grupos están clasificados: se conocen listas que agotan todos los que hay.
) representa a un conjunto, no necesariamente numérico, al que denotamos con G (de grupo) y una operación binaria interna «
Es la notación más frecuente en los libros de texto: La notación aditiva se emplea exclusivamente para grupos abelianos:[13][14] En lo anterior no se asume que x sea positivo y que -x sea negativo porque, entre otras razones, en algunos grupos en lo que se utiliza la notación aditiva no existe una noción intrínseca del signo del elemento, como por ejemplo en los números complejos o en los vectores.
, simplificando estos términos en el lado izquierdo resulta con lo que ambos inversos son el mismo elemento.
En la segunda igualdad se obtiene un resultado análogo, al multiplicar por la izquierda por el inverso de a.
Cuando este subgrupo es finito, de orden k, se dice que el orden de a es k. Este es el menor número positivo tal que
En otro caso se dice que a es de orden infinito.
para indicar la operación de a con b en G, y
en H. Un homomorfismo de grupos biyectivo se denomina isomorfismo.
Cuando existe un isomorfismo entre dos grupos, se dice que estos son isomorfos, en cuyo caso su estructura es idéntica, y solo se diferencian entre sí por los símbolos utilizados para denotar los elementos y la operación.
, que no está generado por ninguno de sus subconjuntos finitos.
, para cierto número natural n igual al orden del grupo.
Ejemplos de estos últimos son los grupos kleinianos, los fuchsianos o los triangulares, entre otros.
