En matemáticas, y más particularmente en álgebra, un elemento u de un anillo unitario (A,+,×) se llama unidad de este anillo, o invertible en este anillo, cuando existe una aplicación v verificando sobre A: El elemento neutro 1A y su opuesto −1A siempre forman parte de A.
Las propiedades de divisibilidad no permiten distinguir a y b: se dice que están asociados.
El máximo común divisor (mcd) y el mínimo común múltiplo (mcm) también se definen a partir de los ideales principales y la multiplicación del módulo por un invertible.
Por ejemplo, en el caso de los polinomios, se agrega la condición unitaria para definir un polinomio irreducible (es decir, que el coeficiente de su monomio dominante sea igual a uno).
Así, un número primo (como el anillo es principal, la noción de irreducibilidad y la de primalidad se confunden y generalmente solo se habla de un número primo) en Z es por convención siempre positivo, un mcd o un mcm también son por definición siempre positivos.
Esta elección permite obtener, sin ambigüedad, una descomposición en factores primos que es única excepto por una permutación; a diferencia del caso de los números enteros positivos, donde la descomposición también contiene un factor elegido del grupo de unidades, ya sea 1 o –1.
Es habitual tomar una convención análoga al caso de los números enteros relativos.
Así, el polinomio irreducible de una descomposición en factores primos, un mcm o un mcd se elige con un coeficiente dominante positivo.
Se mencionan indistintamente como números primos gaussianos o enteros irreducibles.
El grupo de unidades contiene cuatro elementos: [1, –1, i y –i].
Por lo tanto, se dice que un entero gaussiano es irreducible si, y solo si, cualquier división en dos factores contiene una unidad y no es un elemento del grupo de unidades.
Por ejemplo, [3, –3, 3i y –3i] forman un conjunto de números primos gaussianos.
La teoría de los números en un anillo local se simplifica así, en comparación con su versión global.