Anillo (matemática)

En álgebra abstracta, un anillo es un sistema algebraico formado por un conjunto y dos operaciones internas, llamadas usualmente «suma» y «producto», que cumplen ciertas propiedades.En términos más específicos, un anillo es una ternaEn esta convención, el elemento neutro de la suma se designa como 0, el opuesto con respecto a la suma de un elemento a, perteneciente al conjunto R dado, se denota como –a y el neutro del producto se designa como 1.Sería redundante decir que un anillo es un conjunto no vacío, pues una vez que se define como un grupo abeliano con la suma, esto queda claro.El producto en un anillo no necesariamente tiene una operación inversa definida,[1]​ a diferencia de otras estructuras algebraicas como el cuerpo.En su estructuración axiomatica , tales ideas fueron fruto del esfuerzo de Dedekind y otros matemáticos a fines del siglo XIX.Sus aplicaciones al análisis matemático muestran los enfoques modernos de algebrización de tal disciplina matemática, que ocurren recién en el segundo cuarto del siglo XX.[2]​ El término anillo fue propuesto por el matemático alemán David Hilbert en Der Zahlbericht (Informe sobre los números 1897).La expresión anillo booleano la introdujo el matemático británico Arthur Harold Stone (1938).[4]​ La razón por la cual los enteros forman un anillo es que poseen las siguientes propiedades: Seaun conjunto no vacío, y seanSe dice que el conjuntoes un grupo cuando se cumplen las siguientes propiedades: Una quinta condición define un grupo abeliano: Para definir un anillo, es necesario agregar cuatro condiciones más, las que conciernen acerca de la segunda operación binaria: Y agregando una décima condición, se define un anillo conmutativo: Cuando no se exige que exista un neutro de la segunda operación hablamos de pseudoanillo.También existe la definición de anillo que no incluye la existencia de un elemento neutro para la segunda operación, y en dicho caso se llama anillo unitario a los anillos que sí tienen dicho elemento neutro para la segunda operación y donde dicho elemento es distinto del neutro de la primera operación.Una operación vinculada a la adición se puede definir en un anillo: la sustracción.que con las leyes de composición interna del anillo(es decir, si el anillo es unitario), entonces se exigirá además queNótese que en este caso, cuando el anillo es unitario, {0} no será subanillo dees propio cuando no coincide con todo el anillo, es decir, sisi y solamente si De mucho mayor interés en teoría de anillos son los ideales, puesto que no solo son cerrados respecto de la multiplicación respecto de los elementos del ideal, sino también cuando un elemento del ideal se multiplica por cualquier elemento del anillo: Cuando un subconjunto I es ideal por la derecha e ideal por la izquierda se dice que es un ideal bilátero, o simplemente ideal.La propiedad conmutativa asegura que en los anillos conmutativos todo ideal por la izquierda lo es también por la derecha, y todo ideal por la derecha es ideal por la izquierda, esto es, todos los ideales (por la izquierda o por la derecha) de un anillo conmutativo son ideales biláteros.Un ideal no tiene por qué ser necesariamente un subanillo.se dice que es propio si es distinto de todo el anillo, esto es,es ideal (por la izquierda, por la derecha o bilátero) propio de un anillo unitario, esto es, ningún ideal propio tiene elementos invertibles.En particular, ningún ideal (por la izquierda, por la derecha o bilátero) propio tiene por elemento al 1, lo que impide a los ideales ser subanillos de anillos unitarios.) es el conjunto de elementos que conmutan para el producto, es decirEl centro de un anillo viene a ser como "la parte conmutativa del anillo".Los anillos conmutativos son aquellos que coinciden con su centro, i.e.,Por ejemplo, el centro del anillo de las matrices cuadradas de orden n está constituido únicamente por las matrices escalares, aquellas que son iguales a la matriz identidad multiplicada por un escalar..