En matemáticas, el grupo lineal general (GL) de un espacio vectorial
, es el grupo formado por todos los isomorfismos de ese espacio en sí mismo.
) y se llama grupo lineal general de grado n sobre el cuerpo.
Si el cuerpo es claro por contexto escribimos a veces
Se definen el grupo especial lineal proyectivo
y el grupo general lineal proyectivo
respectivamente, donde el último es el grupo de matrices escalares no nulas.
, es decir el conjunto de todas las transformaciones lineales biyectivas V → V, junto con la composición funcional como operación de grupo.
Una vez que se haya elegido una base, cada automorfismo de V se puede representar como una matriz invertible n por n, que establece el isomorfismo.
Si consideramos el espacio euclídeo n-dimensional o
Si escogemos una base cualquiera para ese espacio vectorial, cada aplicación lineal podría expresarse mediante una matriz.
Entonces el grupo lineal vendrá representado por el conjunto de todas las matrices que representan aplicaciones lineales que admiten inversa, y por tanto, por matrices cuyo determinante es diferente de cero (ya que el álgebra lineal establece que una aplicación lineal invertible viene representada en una base por una matriz de determinante diferente de cero).
Puede demostrarse que el grupo lineal sobre un espacio euclídeo n-dimensional puede considerarse como una variedad diferenciable dentro de
En un espacio vectorial normado E el grupo lineal GL(E) puede ser dotado de una topología inducida, y resulta ser un conjunto abierto dentro del conjunto de aplicaciones lineales o morfismos del espacio vectorial E.
es un grupo de Lie real o complejo de dimensión real o compleja n2.
es un subconjunto abierto no vacío de la variedad de todas las matrices n por n, que tiene dimensión n².
El álgebra de Lie que corresponde a
son simplemente conexos (salvo, en el caso real, cuando n = 1).
Si F es un cuerpo finito con q elementos, entonces escribimos a veces GL(n, q) en vez de GL(n, F).
El grupo lineal especial, SL(n, F), es el grupo de todas las matrices con determinante igual a 1.
El núcleo de la función es precisamente el grupo lineal especial.
Por el primer teorema del isomorfismo vemos que GL(n, F)/SL(n, F) es isomorfo a F×.
De hecho, GL(n, F) se puede escribir como producto semidirecto de SL(n, F) por el F×:
El grupo lineal especial SL(n, R) se puede caracterizar como el grupo de las transformaciones lineales de Rn que preservan el volumen y la orientación.
El conjunto de todas las matrices diagonales forma un subgrupo de GL(n, F) isomorfo a (F×)n. En cuerpos como R y C, éstas corresponden al reescalado del espacio; las llamadas expansiones y contracciones.
El conjunto de todas las matrices escalares distintas de cero, (a veces denotado Z(n, F), forma un subgrupo de GL(n, F) isomorfo al F×.
Este grupo es el centro de GL(n, F).
El centro de SL(n, F), denotado SZ(n, F), es simplemente el conjunto de todas las matrices escalares con determinante unidad.
Obsérvese que SZ(n, C) es isomorfo a las raíces n-ésimas de la unidad.
Los así llamados grupos clásicos son subgrupos de GL(V) que preserven una cierta clase de producto interno en V.