En matemáticas, particularmente en topología diferencial, un álgebra de Lie es la estructura algebraica definida sobre un espacio vectorial, asociada usualmente a los grupos de Lie y usadas en el estudio geométrico de esos los propios grupos y de otras variedades diferenciables.
El término "álgebra de Lie" (referido a Sophus Lie) fue creado por Hermann Weyl en la década de 1930, para el objeto matemático que se denominaba "grupo infinitesimal".
, llamada corchete de Lie, que satisface las propiedades siguientes: Adviértase que la primera propiedad y la tercera juntas, implican el carácter anticonmutativo de [x, y] = − [y, x] para todo x, y en
Téngase en cuenta también que la multiplicación representada por el corchete de Lie no es, en general, asociativa, es decir, [[x, y], z] no necesariamente es igual a [x, [y, z]].
y puede comprobarse que este operador corresponde a un campo vectorial.
Este subespacio es de dimensión finita (e igual a la del grupo), dado que se corresponde con el espacio tangente en la identidad.
Además hereda la estructura de álgebra de Lie definida en el punto anterior, y se le denomina el álgebra de Lie asociada al grupo
La composición de tales homomorfismos es otra vez un homomorfismo, y las álgebras de Lie sobre el cuerpo
, junto con estos morfismos, forman una categoría.
Si tal homomorfismo es biyectivo, se llama un isomorfismo, y las dos álgebras de Lie
Para todos los efectos prácticos, las álgebras de Lie isomorfas son idénticas.
Una subalgebra del álgebra de Lie
Si I es un ideal de A, entonces el espacio cociente A/I se convierte en un álgebra de Lie definiendo [x + I, y + I] = [x, y] + I para todo x, y ∈ A.
Las álgebras de Lie reales y complejas se pueden clasificar hasta un cierto grado, y esta clasificación es un paso importante hacia la clasificación de los grupos de Lie.
Cada álgebra de Lie real o compleja finito-dimensional se presenta como el álgebra de Lie de un único grupo de Lie simplemente conexo real o complejo (teorema de Ado), pero puede haber más de un grupo, aún más de un grupo conexo, dando lugar a la misma álgebra.
Por ejemplo, los grupos SO(3) (matrices ortogonales 3×3 de determinante 1) y SU(2) (matrices unitarias 2×2 de determinante 1), ambos dan lugar a la misma álgebra de Lie, a saber R³ con el producto vectorial.
Un álgebra de Lie es abeliana si el corchete de Lie se anula, es decir [x, y] = 0 para todo x e y.
Más generalmente, un álgebra de Lie A es nilpotente si la serie central descendente acaba haciéndose cero.
Por el teorema de Engel, un álgebra de Lie es nilpotente si y solo si para cada x en A, la función ad(x): A -> A definida por es nilpotente.
Más generalmente aún, un álgebra de Lie A es soluble si la serie derivada acaba haciéndose cero.
Un álgebra de Lie A se llama semisimple si el único ideal soluble de A es trivial.
Equivalente, A es semisimple si y solamente si la forma de Killing K(x, y) = tr(ad(x)ad(y)) es no-degenerada; aquí tr denota el operador de traza.
Cuando el cuerpo F es de característica cero, A es semi-simple si y solamente si cada representación es totalmente reducible, esto es, que para cada subespacio invariante de la representación hay un complemento invariante (teorema de Weyl).
En particular, un álgebra de Lie simple es semi-simple, y más generalmente, las álgebras de Lie semi-simples son suma directa de simples.