El álgebra de Virasoro es una forma de álgebra de Lie compleja, dada como extensión central del campo vectorial de los polinomios complejos sobre la circunferencia unitaria; esta álgebra toma su nombre del físico argentino Miguel Ángel Virasoro (1940-2021).
Las álgebras de Virasoro han sido ampliamente usadas en teoría de cuerdas.
etc, que son todos elementos reales.
El álgebra de Virasoro satisface las siguientes dos propiedades:
con: se observa entonces que la relación:
puede ser expresada en términos del símbolo de Kronecker
El álgebra de Virasoro es desarrollada por los elementos
y el elemento c. Entonces se tiene que
y c son elementos reales.
El álgebra definida a través de conmutadores satisface:
Esto se debe a que el grupo conforme se descompone en difeomorfismos separados del cono de luz futuro y pasado.
Esto se conoce como la "condición de Virasoro" o "restricción de Virasoro", y en la versión cuántica de la teoría, esta restricción solo puede aplicarse a los estados físicos de la teoría (acorde a la cuantificación Gupta-Bleuler).
Existen dos extensiones supersimétricas (con N = 1) del álgebra de Virasoro, llamadas respectivamente: álgebra de Neveu-Schwarz y álgebra de Ramond.
En efecto, estas dos teorías son similares a aquella del álgebra de Virasoro.
Novikov (año 1987) encontraron una extensión central del álgebra de Lie meromórfa de campos vectoriales sobre una superficie de Riemann compacta de género mayor que es holomórfa excepto en dos puntos fijos, y M. Schlichenmaier (año 1993) extendió este el caso de más de dos puntos.
Una representación de menor peso del álgebra de Virasoro es una representación generada por un vector v que es anulado por
se utilizan generalmente para los valores propios de
del álgebra de Virasoro y su valor propio.)
hay una única irreductible representación de más bajo de peso con estos valores propios.
Una representación de más bajo peso se llama unitaria si tiene un efecto positivo del producto interno definido de tal manera que el adjunto de
La irreductible representación más baja de peso con valores propios h y c es unitaria si y sólo si c≥1 y h≥0, ó c es uno de los valores:
La primera serie discreta de pocas representaciones están dadas por: Las representaciones de más bajo peso que no son irreductibles se puede leer en la fórmula determinante de Kac, que establece que el factor determinante del producto interno invariante en el grado h + N está dado por pieza del módulo de menor peso, con valores propios c y h
Esto fue declarado por V. Kac (1978), (véase también Kac y Raina, 1987) y cuya primera prueba publicada fue dada por Feigin y Fuks (1984).
(La función p(N) es la función de partición, y AN es una constante) la máxima representación reducible de peso son las representaciones con h y c dado en términos de m, c y h por las fórmulas anteriores, excepto que m no se limita a ser un número entero ≥ 2 y puede ser cualquier número distinto de 0 y 1, y r y s pueden ser de cualquier número entero positivo.
Este resultado fue utilizado por Feigin y Fuks para encontrar a los caracteres de todas las representaciones de peso más irreductible.
Sus análogos en los campos finitos fueron estudiados por Ernst Witt alrededor de la década de 1930.
La extensión del centro del álgebra de Witt que da el álgebra de Virasoro fue encontrada por primera vez (en la característica p > 0) por R.E.
Block (año 1966, página 381) e independientemente redescubierta (en la característica 0) por I.M.
Virasoro (año 1970) escribió algunos operadores de la generación del álgebra Virasoso mientras estudiaba los modelos de doble resonancia, aunque no encontró en esas fechas la extensión central.
La extensión de central fue redescubierta en física, poco después por J.H.Weis, según Brower y Thorn (año 1971, nota a pie de página 167).