Delta de Kronecker
En matemáticas, la delta de Kronecker (llamada así en referencia al matemático alemán Leopold Kronecker) es una función de dos variables, generalmente solo números enteros no negativos.
En álgebra lineal, la matriz identidad I de orden n × n tiene entradas iguales a la delta de Kronecker: donde i y j toman los valores 1, 2, ..., n, y el espacio prehilbertiano de vectores se puede escribir como Aquí los vectores euclídeos se definen como n-tuplas:
y el último paso se obtiene utilizando los valores de la delta de Kronecker para reducir la suma sobre j. La restricción a números enteros positivos o no negativos es común, pero de hecho, la delta de Kronecker se puede definir en un conjunto arbitrario.
Otra representación útil es la siguiente forma: lo que se puede deducir usando la fórmula de una progresión geométrica.
Usando el corchete de Iverson: A menudo, se usa una notación de un solo argumento δi, que es equivalente a establecer j = 0: En álgebra lineal, se puede considerar como un tensor y se escribe δij.
En el cálculo tensorial, es más común numerar los vectores base en una dimensión particular comenzando con el índice 1, en lugar del índice 0.
no existe y, de hecho, la delta de Kronecker y la muestra unitaria son funciones realmente diferentes que por casualidad se superponen en un caso específico, en el que los índices incluyen el número 0, el número de índices es 2 y uno de los índices tiene el valor de cero.
Para la función de muestra unitaria discreta, es más convencional colocar un único índice entero entre llaves; por el contrario, la delta de Kronecker puede tener cualquier número de índices.
La función de muestra unitaria discreta se usa típicamente como una función de entrada a un sistema discreto para descubrir la función de salida del sistema que se generará.
no tiene un índice entero, tiene un único valor continuo no entero t. Para confundir más las cosas, la función de impulso unitario a veces se usa para referirse a la delta de Dirac
o a la función de muestra unitaria
Y por convención, δ(t) generalmente indica tiempo continuo (Dirac), mientras que argumentos como i, j, k, l, m y n generalmente se reservan para tiempo discreto (Kronecker).
Otra práctica común es representar secuencias discretas con corchetes; así: δ[n].
Si se considera como un tipo de tensor (1,1), el tensor de Kronecker se puede escribir como δij con un índice covariante j y un índice contravariante i: Este tensor representa: La delta generalizada de Kronecker o delta de Kronecker multi-índice de orden 2p es un tensor tipo (p,p) que es completamente antisimétrico en sus índices superiores p, y también en sus índices inferiores p. Se utilizan dos definiciones que difieren en un factor de p!.
A continuación, la versión que se presenta tiene componentes distintos de cero escalados para ser ±1.
[3] En términos de índices, la delta de Kronecker generalizada se define como:[4][5] Sea Sp el grupo simétrico de grado p. Entonces: Usando antisimetrización: En términos de un determinante p × p:[6] Usando el teorema de Laplace (la fórmula de Laplace) para un determinante, se puede definir recursivamente:[7] donde el símbolo denominado carón, ˇ, indica un índice que se omite en la secuencia.
[11] Además, esta relación se usa ampliamente en las teorías dualidad-S, especialmente cuando están escritas en el lenguaje de formas diferenciales y duales de Hodge.
Esta representación también es equivalente a una integral definida por una rotación en el plano complejo.
La función peine de Kronecker con el período N se define (utilizando la notación usada en procesamiento digital de señales) como: donde N y n son números enteros.
Puede considerarse que es el análogo discreto del peine de Dirac.
[12] Supóngase que se lleva a cabo una aplicación desde la superficie Suvw a Sxyz que son los límites de las regiones, Ruvw y Rxyz, y que están simplemente conectadas con una correspondencia de uno a uno.
En este marco, si s y t son parámetros para Suvw, y Suvw a Suvw están orientados según la normal externa de orden n: mientras que la normal tiene la dirección de Sean x = x(u,v,w), y = y(u,v,w), z = z(u,v,w) definidas y suaves en un dominio que contenga Suvw, de forma que estas ecuaciones definan la aplicación de Suvw en Sxyz.
