Las principales herramientas utilizadas para modelizar la geometría según la teoría de la gravedad son loa campos tensoriales definidos sobre una variedad Lorentziana que representa el espacio-tiempo.
Más precisamente, la construcción física básica que representa la gravedad (un espacio-tiempo curvo), está modelada por una variedad lorentziana de cuatro dimensiones suave y conexa.
[4] Otros descriptores físicos están representados por varios tensores, que se analizan a continuación.
La razón para elegir una variedad como estructura matemática fundamental es reflejar determinadas propiedades físicas deseables.
Un problema importante en la relatividad general es saber cuándo dos espacio-tiempos son "iguales", al menos localmente.
Este último problema ha sido resuelto, y su adaptación a la relatividad general se denomina algoritmo de Cartan-Karlhede.
La relatividad general eliminó la preferencia por los sistemas de referencia inerciales, al demostrar que no existe ningún sistema de referencia preferente (inercial o no) para describir la naturaleza.
[6] Cualquier observador puede realizar mediciones y las cantidades numéricas precisas obtenidas solo dependen del sistema de coordenadas utilizado.
Esto sugirió una forma de formular la relatividad utilizando "estructuras invariantes", aquellas que son independientes del sistema de coordenadas (representado por el observador) utilizado, pero que aun así tienen una existencia independiente.
[7] Algunas cantidades físicas están representadas por tensores, no todos cuyos componentes son independientes.
[8] El tensor métrico (que a menudo se denomina simplemente "la métrica") es un objeto central en la relatividad general, que describe la geometría local del espacio-tiempo (como resultado de resolver las ecuaciones del campo de Einstein).
Usando la aproximación de campo débil, también se puede considerar que el tensor métrico representa el "potencial gravitatorio".
Si bien algunos físicos relativistas consideran que la notación está algo pasada de moda, la mayoría cambian fácilmente entre esta y la notación alternativa:[9] El tensor métrico se escribe comúnmente como una matriz de 4×4.
Existen varios métodos para clasificar estos tensores, algunos de los cuales utilizan invariantes tensoriales.
En consecuencia, un campo tensorial se define como una aplicación desde la variedad hasta el haz de tensores, estando cada punto
Otros campos tensoriales físicamente importantes en la relatividad incluyen los siguientes: Aunque la palabra "tensor" se refiere a un objeto en un punto, es una práctica común referirse a los campos tensoriales en un espacio-tiempo (o una región del mismo) simplemente como "tensores".
Incluso en la teoría de la relatividad especial, la derivada parcial sigue siendo suficiente para describir tales cambios.
Una conexión afín es una regla que describe cómo mover legítimamente un vector en una curva en la variedad sin cambiar su dirección.
en esta curva, una conexión afín da lugar a una aplicación de vectores en el espacio tangente en
de una manera físicamente significativa puede tener sentido eligiendo una conexión afín y una curva suave parametrizada
puede verse como un operador diferencial que actúa sobre un campo vectorial enviándolo a un tensor de tipo (1, 1) (aumentando el índice covariante en 1) y puede generalizarse para actuar sobre campos tensoriales de tipo
Mientras que la derivada covariante requería una conexión afín para permitir la comparación entre vectores en diferentes puntos, la derivada de Lie utiliza una congruencia de un campo vectorial para lograr el mismo propósito.
y, a este respecto, se puede ver como un mapa que envía un tipo
Este tensor mide la curvatura mediante el uso de una conexión afín considerando el efecto del transporte paralelo sobre un vector entre dos puntos en dos curvas.
Esta propiedad del tensor de Riemann se puede utilizar para describir cómo divergen las geodésicas inicialmente paralelas.
Utilizando el procedimiento anterior, el tensor de Riemann se define como un tensor del tipo (1, 3) y, cuando se utiliza su expresión completa, contiene explícitamente los símbolos de Christoffel y sus primeras derivadas parciales.
Lo que el tensor de Riemann nos permite hacer es decir, matemáticamente, si un espacio es plano o, si es curvo, cuánta curvatura tiene lugar en una región determinada.
En la relatividad especial y general existe una ley "local" para la conservación de la energía-momento.
Los tensores métricos resultantes de casos en los que las ecuaciones diferenciales resultantes se pueden resolver exactamente para una distribución físicamente razonable de energía-momento se denominan sistemas hamiltonianos integrables.
Su uso como método para analizar el espacio-tiempo utilizando tétradas, en particular, en el formalismo de Newman-Penrose, es importante.