La aproximación para campos gravitatorios débiles, en el caso de pequeñas velocidades es sencilla de obtener en el caso de pequeñas velocidades sin más que comparar la lagrangiana relativista en el límite de pequeñas velocidades e igualando términos con la lagrangiana clásica.
Eso implica que la integral de acción escrita en términos e la longitud de arco s, o del tiempo propio τ, viene dada por:
Para ello usaremos la relación entre tiempo propio y tiempo coordenado en ausencia de campo, y el límite clásico correspondiente:
En el caso de existencia de campo gravitatorio podemos hacer que en el mismo límite anterior el lagrangiano relativista coincida con el lagrangiano clásico de una partícula en un campo gravitatorio:
representa el potencial gravitatorio clásico de la partícula.
Las ecuaciones del movimiento de una partícula en un campo gravitatorio débil dado por las ecuaciones anteriores son:
La primera de las anteriores implica que las coordenadas espaciales varían similarmente al caso clásico, aunque afectados por un factor de ralentización temporal
, mientras que la relación entre el tiempo propio y la coordenada temporal se obtiene integrando la segunda ecuación:
El análogo relativista del campo gravitatorio creado por una masa esférica viene descrito por una solución exacta de las ecuaciones de Einstein conocida como métrica de Schwarzschild.
La siguiente tabla comparativamente las predicciones de ambas teorías, etc.
La forma exacta de la métrica de Schwarzschild postula que la geometría del espacio-tiempo viene dada por la métrica:
La aproximación para campos gravitatorios débiles es postular una métrica con una parte espacial euclídea del tipo, en coordenadas esféricas:
Esta forma de la métrica permite interpretar las componentes del tensor métrico, o más concretamente, la componente
como una magnitud directamente proporcional al potencial gravitatorio clásico:
Para estudiar el movimiento de los planetas alrededor del sol, podemos usar la aproximación euclidea de campo débil anterior.
Que también puede escribirse en coordenadas cartesianas en términos del potencial gravitatorio
Consideramos un cuerpo de pequeña masa inicialmente en reposo respecto a la fuente del campo gravitatorio en r = r0.
La trayectoria seguida puede obtenerse de las geodésicas sin más que considerar
lo cual nos lleva a una variación de la coordenada radial dada por:
Para campos débiles puede descomponerse la métrica del espacio-tiempo
Donde: En la aproximación de campo débil la función que da la desviación respecto a la planitud puede desarrollarse en serie de potencias: (*)
A continuación usaremos esas aproximaciones para construir el lagrangiano de sistemas de partículas.
Para obtener la aproximación postnewtoniana podemos pensar que cada partícula A se mueve en el campo gravitatorio provocado por el resto de partículas.
Identificando x0 = ct se llega a un lagrangiano dado por:
Desarrollando esta última expresión en serie de Taylor e introduciendo las aproximaciones dadas por (*) se tiene:
En el caso anterior hemos ignorado el efecto de la partícula en las demás.
Lo cual es válido para cuando la partícula tiene una masa pequeña en comparación al resto.
Sin embargo, cuando la relación de distancias y masas es más desfavorable se necesita tener en cuenta la influencia de cada partícula en el propio campo promedio.
Así para un sistema de varias partículas el lagrangiano total del sistema no es simplemente la suma de lagrangianos de primera aproximación (ver sección anterior), aunque pueden calcularse las fuerzas sobre cada partícula:
Y entonces se construye un lagrangiano cuyas derivadas paraciales respecto a las coordenadas coincidan con las anteriores:[1]