Métrica de Schwarzschild
Este tipo de solución puede considerarse una descripción relativista aproximada del campo gravitatorio del sistema solar (Región I).
Y bajo ciertas condiciones también describe un tipo de agujero negro (Región II).
Matemáticamente, la métrica de Schwarzschild normalmente representa solo una parte del espacio-tiempo más grande posible con simetría esférica, la variedad diferencia maximal que amplía la métrica de Schwarzschild se conoce como métrica de Kruskal-Schwarzschild o solución de Kruskal.
Sin embargo, esta solución representa un espacio totalmente vacío (además de algunos rasgos "exóticos"), por lo que no es físicamente relevante para describir un cuerpo o un agujero negro físico.
Schwarzschild murió poco después de que se publicase su trabajo, como consecuencia de una enfermedad que contrajo durante su servicio en el ejército alemán durante la Primera Guerra Mundial.
[2] Johannes Droste en 1916,[3] de manera independiente, llegó a la misma solución que Schwarzschild, aunque usando una derivación más simple y directa.
En el que la fuerza gravitatoria que experimenta un planeta de masa m a una distancia r del sol, ignorando la presencia de los otros planetas o astros menores también presentes en el sistema solar, por:
Sin embargo, en ciertos cálculos la precisión obtenida mediante la fórmula anterior no es buena: Además de las discrepancias anteriores se encontraron otros efectos relativistas que no podían ser explicados mediante la teoría de Newton.
Las siguientes secciones describen cómo es la geometría curvada asociada al campo gravitatorio de un astro simétrico.
se interpreta como la masa aparente del objeto, planeta o estrella que crea el campo.
El sistema de coordenadas anterior está definido solo para una región abierta definida del espacio-tiempo: aquella en la que pueden existir observadores estáticos (también llamada región I del espacio-tiempo de Kruskal).
Si realizamos un cambio de coordenadas dado por las relaciones implícitas:
En esta forma las coordenadadas cubren tres regiones: El contenido material de un espacio-tiempo viene dado por su tensor de energía-impulso, para el caso de la métrica de Schwarschild para la región con r > max(2GM/c2,Re) resulta estar completamente vacía, ya que el tensor de Ricci asociado a la métrica se anula en esa región.
Por tanto, la métrica de Schwarzschild representa una solución de vacío, para la región exterior al cuerpo esférico que produce el campo gravitatorio.
es la expresión de una curva en términos de un parámetro afín (como por ejemplo el tiempo propio), entonces esa curva será geodésica si se cumple que:
La solución de Schwarzschild presenta simetría respecto a traslaciones temporales t → t + h y además presenta simetría esférica.
Por tanto su grupo de isometría maximal resulta ser isomorfo a
El tensor de curvatura en esta métrica en las coordenadas anteriores tiene las siguientes componentes no nulas:
La solución de Schwarzschild para la región exterior o región I, describe un espacio-tiempo en que las geodésicas o trayectorias seguidas por los planetas y cuerpos moviéndose en el campo gravitatorio como satélites articiales.
Las trayectorias predichas son similares a las trayectorias predichas por la teoría newtoniana de la gravitación a grandes distancias.
Sin embargo, a distancias cercanas al centro que crea el campo gravitatorio asociado a la métrica de Schwarzschild predice nuevos efectos y correcciones que se desvían ligeramente de la predicción de la teoría newtoniana: La siguiente tabla comparativamente las predicciones cuantiatativas de ambas teorías para estos fenómenos: Donde L, momento angular.
Eso es lo que se conoce como un agujero negro.
Un espacio-tiempo definido por la Schwarszchild presentará región II de agujero negro solo cuando toda la materia esté confinada dentro del horizonte de eventos.
En un espacio tiempo que presente región II de agujero negro, resulta que cualquier observador que se mueva a lo largo de una geodésica presente en esta región, habrá llegado proveniente de la región I.
Ya que toda geodésica temporal que pasa por la región II, se extiende en el pasado hacia la región I.
Cualquier observador material presente en ella, sólo puede proceder de la "singularidad"
y no puede permanecer estático en la región II, sino que necesariamente cualquier geodésica temporal que pasa por los puntos de la región III acaba saliendo hacia la región I.
Sin embargo, no tiene contacto causal con esta salvo a través de los agujeros: observadores de las regiones I y IV pueden haber estado en contacto dentro del agujero blanco, o podrán establecerlo dentro del agujero negro.
La solución de Schwarzschild completa puede visualizarse como dos universos paralelos asintóticamente planos, conectados por una garganta o agujero de gusano, que se abre y vuelve a cerrar en un tiempo finito.
La relevancia física de las regiones III y IV es dudosa, ya que modelando el colapso gravitatorio de un cuerpo realista no produce tales regiones.
