Lagrangiano

El término lleva el nombre del astrónomo y matemático italo-francés Joseph Louis de Lagrange.Más tarde el concepto se generalizó a sistemas con un número no finito de grados de libertad como los medios continuos o los campos físicos.El lagrangiano es una función escalar definida sobre un cierto espacio de posibles estados del sistema.Una función lagrangiana es la expresión del lagrangiano en un sistema de coordenadas concreto, está relacionada con la energía cinética y la energía potencial del sistema.Por ejemplo para una partícula clásica que se mueve en el espacio euclídeo convencionalbajo un campo de fuerzas conservativo dado por la función V(x,y,z), el lagrangiano usual usando coordenadas cartesianas puede representarse por la función lagrangiana: (3)el lagrangiano intrínseco se puede escribir como una función que satisface: (5)es el pushforward o diferencial del homeomorfismo que define la carta local.debe ser una variedad de dimensión infinita formada por todos las posibles variaciones que puede tener un campo sobre una 4-variedad o espacio-tiempo M, y de hecho en este caso las "trayectorias" no son variedades unidimensionales sino 4-variedades.Además el que la teoría sea local, es decir, que cumpla con ciertos requisitos de causalidad física, la densidad lagrangiana no debe contener derivadas superiores al segundo orden, de lo contrario ocurren ciertas violaciones extrañas de la causalidad.[n., Incidentalmente, el lado izquierdo es la derivada funcional de la acción con respecto aEn mecánica clásica la función lagrangiana de un sistema conservativo, denotada mediante L, es simplemente la diferencia entre su energía cinética, T, y su energía potencial, V.En coordenadas generalizadas este lagrangiano toma usualmente la forma: (10)es el tensor métrico del espacio euclídeo expresado en las coordenadas generalizadas coorrespondientes, que sólo depende de las propias coordenadas de las velocidadesSi suponemos como es habitual que un sistema clásico, está formado por partículas que se mueven en un espacio euclídeo tridimensional entonces el tensor métrico adopta la forma diagonal y el lagrangiano viene dado por: (11), Y entonces el sistema resulta ser inercial, y las ecuaciones de Euler-Lagrange se reducen simplemente a las leyes de Newton: (12), En coordenadas esféricas (r,θ,φ) la misma función lagrangiana anterior, particularizada al caso de un potencial con simetría esférica que sólo dependa de la coordenada radial, se expresa como: (13), En mecánica de medios continuos las magnitudes que evolucionan con el tiempo y definen el estado físico del sistema están relacionadas con los campos vectoriales de desplazamientos.Para problemas dinámicos basta ampliar el lagrangiano anterior con las derivadas del desplazamiento:Un campo físico es cualquier tipo de magnitud que presenta variación tanto espacial como temporal.Además su tratamiento riguroso generalmente requiere el uso de la mecánica relativista para explicar su propagación.En relatividad general el campo gravitatorio es visto como una manifestación de la geometría curva del espacio tiempo, por tanto la formulación lagrangiana del campo gravitatorio relativistamente tratado debe involucrar a algún escalar relacionado con el tensor métrico y sus derivadas primeras (equivalentemente los símbolos de ChristoffelPuede probarse que no es posible hallar ningún escalar que involucre sólo las componentes del tensor métrico y los símbolos de Christoffel, ya que mediante cierta transformación de coordenadas se pueden anular estos últimos (lo cual es precisamente el contenido del llamado principio de equivalencia).Algunas teorías métricas de la gravitación como la teoría relativista de la gravitación usan lagrangiano ligeramente más complicado que incluye términos asociados a la masa del gravitón:Donde: En mecánica cuántica el lagrangiano es un funcional definido sobre el espacio de Hilbert del sistema físico bajo consideración.Como usualmente dicha exponencial se computa como serie de potencias en que cada término se asocia a un diagrama de Feynman.Esa ecuación del campo fermiónico que representa las partículas se puede derivar de una densidad lagrangiana.En concreto para un campo fermiónico libre sin interacción la densidad lagrangiana de la que se puede derivar la ecuación de Dirac viene dada por:El lagrangiano habitual de partida para QED suele tomarse como:Donde: La cromodinámica cuántica o QCD que describe la interacción entre los quarks y el campo de gluones puede ser descrita mediante la siguiente acción euclídea, con lagrangiano dado por:[3]​[4]​[5]​[6]​