Ecuación de Dirac

Ya que la ecuación de Dirac se formuló originalmente para describir el electrón, las referencias se harán respecto a electrones, aunque actualmente la ecuación se aplica a otros tipos de partículas elementales de espín ½, como los quarks.

Una ecuación modificada de Dirac puede emplearse para describir de forma aproximada los protones y los neutrones, formados ambos por partículas más pequeñas llamadas quarks (por este hecho, a protones y neutrones no se les da la consideración de partículas elementales).

Esta dificultad fue resuelta mediante su reformulación como una teoría cuántica de campos.

Debe especificarse el hamiltoniano de forma que describa adecuadamente la energía total del sistema en cuestión.

siendo p los operadores de momento en cada dirección del espacio j = 1, 2, 3.

Para describir un sistema relativista, debe encontrarse un hamiltoniano diferente.

Se asume que los operadores de momento conservan la definición anterior.

Elevando al cuadrado, y comparando coeficientes de cada término, se obtienen las siguientes condiciones por α: Aquí, I es el elemento identidad.

Estas condiciones pueden sintetizarse en: donde {…} es el anticonmutador, definido como {A,B} ≡ AB+BA, y δ es la delta de Kronecker, que tiene valor 1 si los dos subíndices son iguales, y 0 en otro caso.

Se puede escribir explícitamente la función de onda como una matriz columna: La ecuación de la onda dual puede ser escrita como una matriz simple: donde el superíndice denota una conjugación compleja.

Dirac mostró cómo ψ se transforma bajo cambios generales del sistema coordenado, incluyendo rotaciones en el espacio tridimensional, así como en las transformaciones de Lorentz entre los esquemas relativistas de referencia.

Esto lleva a que ψ no se transforma como un vector, debido a rotaciones; y de hecho es un tipo de objeto conocido como espinor.

Para ello, se resuelve la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo:

En el límite no relativista, la componente del espinor ε reduce la energía cinética de la partícula, que es insignificante comparada con pc:

Matemáticamente parece no haber motivo alguno para rechazar las soluciones correspondientes a energía negativa.

Posteriormente Dirac razonó que si los estados propios de energía negativa están llenos de forma incompleta, cada estado propio no ocupado —llamado hueco— podría comportarse como una partícula cargada positivamente.

El hueco fue finalmente identificado como positrón, partícula descubierta experimentalmente por Carl David Anderson en 1932.

Sin embargo, es completamente insatisfactorio postular que los electrones de energía positiva pueden ser afectados por el campo electromagnético, mientras los electrones de energía negativa no lo son.

Un estado vacío en el mar de Fermi se comporta como un electrón cargado positivamente, si bien se remite tanto a un «hueco» como a un positrón.

Hasta aquí se ha considerado un electrón que no está en contacto con campos externos.

Esta es una aproximación semiclásica que es válida cuando las fluctuaciones cuánticas del campo (por ejemplo, la emisión y absorción de fotones) no son importantes.

Dando a Φ el valor 0 y trabajando en el límite no relativista, Dirac solucionó para las dos primeras componentes en las funciones de onda de energía positiva (que son las componentes dominantes en el límite no relativista), obteniendo

La diferencia se debe a las fluctuaciones cuánticas en el campo electromagnético, que pueden ser menospreciadas.

Estos momentos magnéticos anormales fueron el primer indicio experimental de que el protón y el neutrón no eran partículas elementales.

Eso es una cantidad escalar covariante relativista, como puede observarse escribiéndolo en términos del cuadrivector carga-corriente j = (ρc, j) y el cuatrivector del potencial A = (φ/c, A):

, es decir, haciendo tender la constante de estructura fina a cero.

Tal vez el efecto más interesante es la desaparición de la degeneración de los niveles, por el efecto de la interacción espín-órbita consistente en que los electrones con valores diferentes del tercer número cuántico m (número cuántico magnético) tienen diferentes energía debido al efecto sobre ellos del momento magnético del núcleo atómico.

Donde: Si se prescinde de la energía asociada a la masa en reposo del electrón estos niveles pueden resultan cercanos a los predichos por la ecuación de Schrödinger, especialmente en el caso m = 0:

A veces es conveniente escribir la ecuación en una forma covariante relativista, en la que las derivadas en el tiempo y el espacio se tratan al mismo nivel.

Para hacer esto, debe tenerse en cuenta que el operador del momento p funciona como una derivada espacial: