Ecuación de Schrödinger

El ejemplo más famoso es la ecuación de Schrödinger no relativista para una partícula simple moviéndose en un campo eléctrico (pero no en un campo magnético; ver la ecuación de Pauli):[2]​

donde μ es la "masa reducida" de la partícula, V es su energía potencial, ∇2 es el Laplaciano (un operador diferencial), y Ψ es la función de onda (más precisamente, en este contexto, se la denomina "función de onda posición-espacio").

El término "ecuación de Schrödinger" puede referirse a la ecuación general (la primera de arriba), o la versión específica no relativista (la segunda y sus variantes).

Para aplicar la ecuación de Schrödinger, se utiliza para el sistema el operador Hamiltoniano, tomado en cuenta las energías cinética y potencial de las partículas que constituyen el sistema, y luego insertadas en la ecuación de Schrödinger.

La ecuación en derivadas parciales resultante se resuelve para la función de onda, la cual contiene información acerca del sistema.

(Solo se utiliza cuando el Hamiltoniano no es dependiente del tiempo.

Al comienzo del siglo XX se había comprobado que la luz presentaba una dualidad onda corpúsculo, es decir, la luz podía manifestarse (según las circunstancias) como partícula (fotón en el efecto fotoeléctrico), o como onda electromagnética en la interferencia luminosa.

En 1923 Louis-Victor de Broglie propuso generalizar esta dualidad a todas las partículas conocidas.

Por analogía con los fotones, De Broglie asocia a cada partícula libre con energía

En razón del carácter probabilista que se introducía, la mecánica ondulatoria de Schrödinger suscitó inicialmente la desconfianza de algunos físicos de renombre como Albert Einstein, para quien «Dios no juega a los dados» y del propio Schrödinger.

El esquema conceptual utilizado por Schrödinger para derivar su ecuación reposa sobre una analogía formal entre la óptica y la mecánica: Este paralelismo lo había notado ya Hamilton en 1834, pero él no tenía una razón para dudar de la validez de la mecánica clásica.

[3]​ Entonces había obtenido la ecuación conocida hoy día con el nombre de Klein-Gordon, pero su aplicación al caso del potencial eléctrico del átomo de hidrógeno daba unos niveles de energía incompatibles con los resultados experimentales.[n.

Una vez establecida el paralelismo entre la óptica y la mecánica hamiltoniana, la parte no trivial del razonamiento, la derivación de la ecuación es algo relativamente elemental.

fija en un medio de índice n que varía lentamente se escribe como:

La longitud de onda dentro del medio está definida por :

O, la energía cinética se escribe para una partícula no relativista :

Solo resta reintroducir el tiempo t explicitando la dependencia temporal para una onda monocromática, puesto que utilizando la relación de Planck-Einstein

que podía ser interpretada como una densidad de probabilidad.

Nótese también que esta ecuación no se demuestra: es un postulado.

Nótese que la función de onda definida así, para estados ligados siempre puede interpretarse como un elemento del espacio de Hilbert complejo y separable

, aunque para estados de colisión o no ligados es necesario acudir a espacios de Hilbert equipados para un tratamiento riguroso.

Esto lleva a favorecer la búsqueda de soluciones que tengan un gran interés teórico y práctico: al saber los estados que son propios del operador hamiltoniano.

, escalar real que corresponde con la energía de la partícula en dicho estado.

A menudo se obtiene que numerosos estados

Algunos modelos simples, aunque no del todo conformes con la realidad, pueden ser resueltos analíticamente y son muy útiles.

Estas soluciones sirven para entender mejor la naturaleza de los fenómenos cuánticos, y en ocasiones son una aproximación razonable al comportamiento de sistemas más complejos (en mecánica estadística se aproximan las vibraciones moleculares como osciladores armónicos).

De hecho puede verse que en el límite clásico, cuando

Para ver esto, trabajaremos con la función de onda típica que satisfaga la ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo que tenga la forma:

es la fase de la onda si se substituye esta solución en la ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo, tras reordenar los términos convenientemente, se llega a que: (4)

Y por tanto para partículas macroscópicas, dada la pequeñez de la constante de Planck, los efectos cuánticos resumidos en el segundo miembro se anulan, lo cual explica porqué los efectos cuánticos sólo son apreciables a escalas subatómicas.