Cálculo de variaciones

El cálculo de variaciones o cálculo variacional es un problema matemático consistente en buscar máximos y mínimos (o más generalmente extremos relativos) de funcionales continuos definidos sobre algún espacio funcional.Este problema de optimización (de dimensiones infinitas) con aplicaciones en física teórica y física matemática se convirtió en un campo especializado a mediados del siglo XVIII, particularmente por Leonhard Euler y Joseph-Louis Lagrange.[1]​ El cálculo de variaciones, sus temas relacionados y sus aplicaciones son objeto de la enseñanza actual,[2]​ Desarrollo posterior[3]​ e investigación.[4]​ La pregunta ¿Cómo se pueden seguir desarrollando los métodos del cálculo de variaciones?Los matemáticos Ennio De Giorgi y Charles Morrey, entre otros, realizaron otras contribuciones.Sus investigaciones condujeron a la solución del decimonoveno  problema de Hilbert con el reto ¿Son analíticas todas las soluciones de los problemas variacionales regulares?.Los teoremas desarrollados por la matemática alemana Emmy Noether, relacionados con el cálculo de variaciones,[5]​[6]​ desempeñan un papel importante en la física moderna (Simetría).La matemática estadounidense Karen Uhlenbeck fue galardonada con el Premio Abel en 2019.[8]​ El cálculo de variaciones se desarrolló a partir del problema de la curva braquistócrona, planteado inicialmente por Johann Bernoulli (1696).Inmediatamente este problema captó la atención de Jakob Bernoulli y el Marqués de L'Hôpital, aunque fue Leonhard Euler el primero que elaboró una teoría del cálculo variacional.Las contribuciones de Euler se iniciaron en 1733 con su Elementa Calculi Variationum ('Elementos del cálculo de variaciones') que da nombre a la disciplina.Lagrange contribuyó extensamente a la teoría y Legendre (1786) asentó un método, no enteramente satisfactorio para distinguir entre máximos y mínimos.Isaac Newton y Gottfried Leibniz también prestaron atención a este asunto.[9]​ Otros trabajos destacados fueron los de Vincenzo Brunacci (1810), Carl Friedrich Gauss (1829), Siméon Poisson (1831), Mijaíl Ostrogradski (1834) y Carl Jacobi (1837).Un trabajo general particularmente importante es el de Sarrus (1842) que fue resumido por Cauchy (1844).Otros trabajos destacados posteriores son los de Strauch (1849), Jellett (1850), Otto Hesse (1857), Alfred Clebsch (1858) y Carll (1885), aunque quizá el más importante de los trabajos durante el siglo XIX es el de Weierstrass.Este importante trabajo fue una referencia estándar y es el primero que trata el cálculo de variaciones sobre una base firme y rigurosa.Los problema 20 y 23 de Hilbert planteados en 1900 estimularon algunos desarrollos posteriores.[9]​ Durante el siglo XX, David Hilbert, Emmy Noether, Leonida Tonelli, Henri Lebesgue y Jacques Hadamard, entre otros, hicieron contribuciones notables.[10]​ Lev Semenovich Pontryagin, Ralph Rockafellar y Clarke desarrollaron nuevas herramientas matemáticas dentro de la teoría del control óptimo, generalizando el cálculo de variaciones.[10]​ ¿Cuál es el área máxima A que puede rodearse con una curva de longitud L dada?Un ejemplo es si suponemos que L se considera sobre una funciónEl problema de la curva braquistócrona se remonta a J. Bernoulli (1696).Se refiere a encontrar una curva en el plano cartesiano que vaya del puntoUsando principios de mecánica clásica el problema puede formularse como,Esta fórmula integral puede ser más complicada permitiendo aser un vector, y por lo tanto incluyendo derivadas parciales paratrayectoria en el espacio fásico) simplemente como una función con una variable adicional, concretamente:[18]​ La categoría formada por espacios vectoriales convenientes y funciones suaves entre ellos es cerrada por el producto cartesiano, de tal manera que se tiene la siguiente biyección natural: dondeson espacios vectoriales convenientes y la biyección anterior es un difeomorfismo.La norma vectorial de dicho espacio es lo que permite definir rigurosamente si una solución es un mínimo o un máximo relativo.