Principio de mínima acción

También en mecánica cuántica Feynman y Kac intentaron formulaciones inspiradas en el principio.

Posteriormente, se generalizó el principio a sistemas continuos, donde las magnitudes básicas no solo dependían de una variable temporal, sino también de las otras coordenadas espacio-temporales.

Además la formulación relativista del principio mostró que la condición de mínimo era demasiado restrictiva, y que debía ser sustituida por la condición un poco más general de que la trayectoria debía ser un punto crítico o estacionario (es decir, un valor extremo).

La primera formulación del principio se debe a Pierre-Louis Moreau de Maupertuis (1744), que dijo que la «naturaleza es económica en todas sus acciones» (D'Alembert había formulado un año antes el principio de d'Alembert que generalizaba las leyes de Newton).

Entre los que desarrollaron la idea se incluyen Euler y Leibniz.

La formulación del principio para un sistema lagrangiano es: fijado un sistema de coordenadas generalizadas sobre el espacio de configuración (o una parte del mismo, llamada carta local), se tiene que de todas las trayectorias posibles que transcurren entre el instante t1 y t2, el sistema escogerá aquella que minimice la acción S. La magnitud acción viene dada para cada trayectoria por la integral:

La formulación anterior es adecuada para partículas puntuales, o incluso sistemas mecánicos con un número finito de grados de libertad aunque no sean puntuales como un sólido rígido.

Sin embargo, para campos físicos que tienen una variación espacial o para la mecánica de medios continuos la formulación anterior no es adecuada y debe generalizarse.

La generalización más obvia es definir la acción como la integral de una función escalar, denominada densidad lagrangiana integrada sobre el volumen donde existe el campo o medio continuo:

Y en ese caso las ecuaciones de Euler-Lagrange resultan ser:

A continuación se presentan varias deducciones y ejemplos ilustrativos que muestran la equivalencia parcial de la mecánica newtoniana y el principio de mínima acción.

Esta forma es totalmente equivalente al principio de D'Alembert que establece que bajo cualquier desplazamiento virtual compatible con las ecuaciones de movimiento:

Reescribiendo la última ecuación introduciendo la definición de la aceleración:

Procedemos a integrar por partes el segundo término del lado izquierdo de la ecuación: 1) aplicando la derivada temporal a la variación de la distancia

, y 2) introduciendo un término límite, que hace referencia a la diferencia del valor de la función

sea asimismo igual a cero en dichos lugares.

En esta ecuación están presentes las expresiones de la energía potencial

recibe el nombre de función lagrangiana y se representa con la letra

Igualmente debido a la isotropía, la dependencia en la velocidad de la partícula solo puede depender del módulo al cuadrado de la velocidad.

Eso nos lleva a que el lagrangiano debe ser de la forma:[3]​

Si tomamos un sistema de referencia inercial K' que se mueve respecto al sistema anterior a una velocidad muy pequeña V, tenemos que la velocidad y el lagrangiano se transforman de acuerdo con las siguientes leyes: Por tanto tendremos que para velocidades V pequeñas las formas funcionales de los dos lagrangianos están relacionadas por:

Como las trayectorias solo pueden ser iguales si las dos funciones anteriores solo difieren en una derivada total del tiempo, es necesario que exista una función de las coordenadas y del tiempo, tal que su derivada coincida con ese sumando.

Eso solo puede ocurrir si el segundo término es una función lineal de la velocidad cosa que solo sucede si la derivada del segundo término se anula.

Esta última ecuación dice que una partícula libre mantiene su velocidad constante.

, Un campo físico es cualquier tipo de magnitud que presenta variación tanto espacial como temporal.

Además su tratamiento riguroso generalmente requiere el uso de la mecánica relativista para explicar su propagación.

En relatividad general el campo gravitatorio es visto como una manifestación de la geometría curva del espacio tiempo, por tanto la formulación lagrangiana del campo gravitatorio relativistamente tratado debe involucrar a algún escalar relacionado con el tensor métrico y sus derivadas primeras (equivalentemente los símbolos de Christoffel

Puede probarse que no es posible hallar ningún escalar que involucre solo las componentes del tensor métrico y los símbolos de Christoffel, ya que mediante cierta transformación de coordenadas se pueden anular estos últimos (lo cual es precisamente el contenido del llamado principio de equivalencia).

Donde: Algunas teorías métricas de la gravitación como la teoría relativista de la gravitación usan lagrangiano ligeramente más complicado que incluye términos asociados a la masa del gravitón.

Por valor estacionario entendemos que es aquel para el cual δJ=0, esto es, que el valor de la integral curvilínea cuando recorre el camino correcto no varía respecto de los caminos vecinos infinitesimalmente próximos (al menos, cuando estos infinitésimos son de primer orden).