En matemáticas y física, los símbolos de Christoffel, así nombrados por el físico Elwin Bruno Christoffel (1829 - 1900), son expresiones en coordenadas espaciales para la conexión de Levi-Civita derivada del tensor métrico.
Se utilizan los símbolos de Christoffel siempre que se deban realizar cálculos teóricos que implican geometría, pues permiten efectuar cálculos muy complejos sin confusión.
Inversamente, la notación formal (sin índices) para la conexión de Levi-Civita, es elegante y permite que los teoremas sean establecidos de un modo breve, pero son casi inútiles para los cálculos prácticos.
Las definiciones dadas abajo son válidas para las variedades de Riemann y las variedades seudoriemannianas, tales como las de la relatividad general, con la distinción cuidadosa que debe ser hecha entre los índices superiores e inferiores (índices contra- y covariantes).
Las fórmulas valen para cualquier convención de signo, a menos que se establezca explícitamente en forma diferente.
Considérese las tres derivadas covariantes de la métrica:
Si sumamos las primeras dos expresiones y le restamos la tercera, utilizando el hecho de que tanto la métrica como la conexión sean simétricas, obtenemos
Recuérdese que aunque los símbolos tienen tres índices en ellos, no son tensores.
Observe que la mayoría de los autores eligen definir los símbolos de Christoffel en una base coordenada (es decir, holonómica), que es la convención seguida aquí.
En una base no holonómica, los símbolos de la conexión toman la forma más compleja:
Un ejemplo de una base no holonómica con coeficientes no triviales de conmutación es la formada por los vectores unitarios estándares en coordenadas esféricas y cilíndricas.
Las expresiones abajo son válidas solamente en una base holonómica, a menos que se establezca en forma diferente.
Aquí, se utiliza la notación de Einstein, los índices repetidos establecen la adición sobre esos índices y la contracción con el tensor métrico sirve para levantar y para bajar índices:
La convención es que el tensor métrico es el que tiene los índices inferiores; la forma correcta de obtener gi k de gi k es solucionar la ecuación lineal
El artículo sobre derivada covariante proporciona discusión adicional de la correspondencia entre las notaciones con o sin índices.
Donde |g| es el valor absoluto del determinante de tensor métrico gi k. Similarmente,
La derivada covariante de un vector Vm es
La derivada covariante de un tensor Ai k es
Si el tensor es antisimétrico, entonces su divergencia se simplifica a
Es decir, el gradiente es el diferencial con el índice levantado:
El laplaciano de un potencial escalar viene dado por
El laplaciano es la divergencia covariante del gradiente, esto es Δφ = Di Diφ .
{\displaystyle R_{iklm}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial ^{2}g_{im}}{\partial x^{k}\partial x^{l}}}+{\frac {\partial ^{2}g_{kl}}{\partial x^{i}\partial x^{m}}}-{\frac {\partial ^{2}g_{il}}{\partial x^{k}\partial x^{m}}}-{\frac {\partial ^{2}g_{km}}{\partial x^{i}\partial x^{l}}}\right)+g_{np}\left(\Gamma _{kl}^{n}\Gamma _{im}^{p}-\Gamma _{km}^{n}\Gamma _{il}^{p}\right)}
Es decir, es simétrico en el intercambio del primer y último par de índices, y antisimétrico en la permutación de un par.
Si se realiza una última contracción sobre los dos índices del tensor de Ricci se obtiene la curvatura escalar que viene dada por:
El tensor de Weyl viene dado por
, los vectores se transforman como y por tanto
Los símbolos de Christoffel no transforman como tensores bajo transformaciones generales de coordenadas (TGC's).
Desarrollamos el primer miembro de la ecuación y después solo cambiamos índices adecuadamente para obtener el segundo y tercer término
B. Janssen (Universidad de Granada), "Gravitación y geometría: una introducción moderna a la Teoría de la Relatividad General", Editorial UGR, 2013, Granada.