Derivada covariante
) es una generalización del concepto de derivada parcial (
(y también al caso todavía más general de variedades diferenciables).
[1] Históricamente, a principios del siglo XX, Gregorio Ricci-Curbastro y Tullio Levi-Civita introdujeron la derivada covariante en la teoría de las geometrías riemanniana y pseudoriemanniana.
Pronto otros matemáticos, entre los que destacan Hermann Weyl, Jan Arnoldus Schouten y Élie Cartan,[5] se dieron cuenta de que una derivada covariante podía definirse de manera abstracta sin la presencia de una métrica.
Así, la teoría de la diferenciación covariante se separó del contexto estrictamente riemanniano para incluir una gama más amplia de geometrías posibles.
En general, estas derivadas covariantes generalizadas tuvieron que ser especificadas "ad hoc" mediante alguna versión del concepto de conexión.
Así, rápidamente suplantaron a la noción clásica de derivada covariante en muchos tratamientos del tema posteriores a 1950.
Eso implica que aun cuando el campo vectorial sea constante en general sus coordenadas en la base elegida no serán constantes y en general sucederá que la derivada covariante (
Donde el término segundo adicional da cuenta de cómo cambia la base vectorial al recorrer una línea coordenada curvilínea.
las líneas coordenadas son líneas rectas paralelas a los ejes coordenados, y de alguna manera en cada punto la base vectorial escogida para medir las coordenadas de un campo vectorial en todos los puntos están "sincronizadas".
Pero en coordenadas curvilíneas al pasar de un punto a otro, los vectores tangentes a las líneas coordenadas usados como base no coindirán de un punto a otro y es necesario computar su variación al cambiar de punto.
no sólo dependen del punto, es necesario especificar cómo se "conectan" los vectores en diferentes puntos y para ello se define una conexión que en el caso de
se llaman símbolos de Christoffel y definen localmente la conexión.
La expresión entre paréntesis representa las componentes de la derivada covariante del vector contravariante
se define la derivada covariante temporal a lo largo de dicha curva como:
Basta el movimiento de una partícula expresado en coordenadas cartesianas y luego el mismo movimiento expresado en coordenadas polares, por ejemplo, consideremos una masa puntual que se mueve a lo largo de la trayectoria recta por:
Ahora consideramos el cálculo de la aceleración en coordenadas polares.
Como la partícula se mueve sobre una recta la distancia al origen y el ángulo polar estarán relacionados mediante la relación:
Puesto que la partícula se mueve a velocidad constante el vector aceleración debería resultar nulo.
De acuerdo a lo discutido anteriormente, las componentes del vector aceleración pueden obtenerse mediante las coordenadas covariantes:
Es importante notar como en este caso las derivadas parciales ordinarias no coinciden con las componentes de la aceleración:
Ya que en coordenadas polares los vectores de la base varían de punto a punto, y es por ello que sólo usando la derivada covariante se obtiene un vector de aceleración nulo tal como cabía esperar a partir del cálculo en coordenadas cartesianas.
, por otra parte, el concepto de derivada direccional se define a partir del espacio tangente a cada punto.
En el caso general al presentar la variedad o la hipersuperficie curvatura, los espacios tangentes de cada punto difiere del de los puntos cercanos y por tanto se necesita alguna manera de "conectar" o identificar vectores de diferentes espacios vectoriales, mediante una conexión sobre la variedad.
En una variedad riemanniana comúnmente se escoge una conexión (sin torsion) que sea compatible con la métrica, expresada por las componentes del tensor métrico
En las secciones anteriores la discusión de la derivada covariante se ha limitado a un campo vectorial contravariante.
se considera su contracción con un campo vectorial contravariante y teniendo en cuenta que la derivada covariante en una derivación para la cual vale la regla del producto:
Esto lleva a la siguiente relación entre componentes:
Para un tensor de tipo (p,q) general se tendrá:
En lo anterior se ha considerado la noción de derivada covariante de manera naturalista extendiendo a coordenadas curvilíneas la noción de derivada parcial, ese enfoque conduce a un operador de derivación covariante con las siguientes propiedades: Otra posibilidad es definir una derivada covariante más formalmente es construir un operador que satisfaga por construcción las propiedades anteriores
