Transporte paralelo
En matemáticas, un transporte paralelo en una variedad M con conexión especificada es un modo de transportar[nota 1] vectores sobre curvas diferenciables de manera que permanezcan "paralelos" respecto a la conexión dada.
sobre una curva diferenciable
se llama paralelo si para cualquier t. La interpretación de la fórmula anterior es que derivar covariantemente el campo
respecto al vector tangente
γ ( t )
, como el ángulo entre dos vectores es uno de los aspectos que podría variar, en variedades de Riemann donde se puede definir la noción de ángulo la ecuación anterior, implica que el ángulo se mantiene constante y, por tanto, que el vector
es transportado paralelamente ya que su inclinación respecto a la curva no varía.
Sean M una variedad diferenciable con conexión
Entonces existe un único campo vectorial paralelo ω a lo largo de
tal que
se llama transporte paralelo de
Dada una métrica con unos correspondientes Símbolos de Christoffel, las ecuaciones que debe cumplir un campo vectorial
para ser transporte paralelo a lo largo de la curva
c ( t ) = (
{\displaystyle v_{k}'(t)+\sum _{i,j=1}^{n}v_{i}(t)c_{j}'(t)\Gamma _{ji}^{k}(c_{1}(t),\dots ,c_{n}(t))=0~\forall k\in \{1,\dots ,n\}}
A esto se le añade el dato inicial:
Este sistema de ecuaciones diferenciales lineales tiene solución única, con lo que se garantiza la existencia y unicidad del transporte paralelo.
Las geodésicas en variedades (seudo-)Riemannianas se definen de la siguiente manera.
Sea M una variedad diferenciable con conexión
(como campo vectorial a lo largo de
) es paralelo a lo largo de sí misma.
En otras palabras, si Un campo vectorial
sobre M se denomina paralelo si y geodésico si
Dada una derivada covariante ∇, el transporte paralelo sobre la curva γ se obtiene integrando la igualdad
Por el contrario, en el caso de que sea posible dar una noción concreta del transporte paralelo, entonces se puede obtener a partir de este, diferenciando, su correspondiente conexión.
Si consideramos la colección de funciones que envían cada curva γ de la variedad a esa misma curva en otro punto (donde
es un espacio vectorial) y de forma que Dada tal descripción del transporte paralelo, entonces es posible recuperar la conexión asociada en E de la siguiente forma.
Dada γ una curva diferenciable en la variedad M con punto inicial γ(0) y con vector tangente X = γ′(0).
si V es una sección de E a través de γ, entonces consideremos Justo esta definición define la conexión ∇ en E utilizada para definir inicialmente el campo paralelo que hemos considerado.
Se puede comprobar también, que dada esta conexión, se obtiene el mismo transporte
