Sistema de ecuaciones diferenciales

Una solución del mismo es un conjunto de funciones diferenciables que satisfacen todas y cada una de las ecuaciones del sistema.Existe un sistema equivalente de primer orden con a lo sumo (n+1) x m ecuaciones.Para ver esto consideremos un sistema en el que intervienen m funciones incógnitas xi y sus n derivadas, e introduzcamos un nuevo conjunto de variables yi,k definidas de la siguiente manera:El sistema de primer orden equivalente en las variables yi,k resulta ser:Si se introducen tres funciones incógnita nuevas que representan la velocidad, el sistema anterior se puede reducir a un sistema de primer orden y seis ecuaciones:Un sistema de ecuaciones diferenciales general tiene la forma (*)La demostración se basa en el hecho de que la función(Obsérvese que dichas soluciones son vectores).Comenzamos encontrando los puntos críticos del sistema, es decir, aquellos valoresEstas son las soluciones fijas, no cambian con el paso del tiempo.autovalores de la matriz nos dará información para construir una solución: En este caso no podemos expresar la solución como antes, ya que si lo hacemos tendríamos información redundante.La solución general al sistema homogéneo será, finalmente una combinación lineal de todas ellas multiplicadas cada una de ellas por su autovector correspondiente:se determinan a partir del dato inicial.; La matriz fundamental asociada a dicho sistema homogéneo sería:Otro método para resolver este tipo de sistemas es utilizar la exponencial matricial: Sea: Entonces la solución viene dada por la exponencial de la matriz A; para calcularla, utilizando las iteraciones de Picard, distinguiremos los siguientes casos:Si la matriz A diagonaliza puede expresarse de la forma:donde D es una matriz diagonal y así tendríamosEn este caso la solución general a nuestro problema seráSi la matriz A no diagonaliza en general se puede escribir de la formaPrimero descompondremos cada bloque de Jordan en dos matrices más simples:Por tanto, la solución general al problema será:es la solución general del problema homogéneo yLuego volviendo a nuestra ecuación y comparando, nos queda queEjemplo del problema no homogéneo Por último, estudiaremos un problema no homogéneo con autovalores imaginarios para ilustrar otro ejemplo.Primero hallamos la solución del caso homogéneo: Los valores propios de la matriz sonLa matriz fundamental principal asociada a este problema es:Ahora resolvemos la parte no homogénea: Usando las fórmulas vistas, nuestro vectorPor lo visto anteriormente nuestra solución general del problema no homogéneo tendrá la siguiente forma sustituyendo los datos antes calculados: