es abierto, una función continua y localmente Lipschitz respecto de
donde existe solución única del siguiente problema de Cauchy:
es un conjunto cerrado contenido en un espacio de Banach.
Para concluir tenemos que elegir
El último paso se cumple si elegimos
es Lipschitz respecto la segunda variable tenemos que
Por lo tanto, como el operador de Picard es un operador entre espacios de Banach (en particular espacios métricos inducidos por la norma) y contractivo, por el teorema del punto fijo de Banach, existe una única función
, es decir, solución del problema de valor inicial definida en
debe satisfacer las condiciones dadas, es decir,
El resultado anterior exige los requisitos mínimos que debe cumplir una función si queremos aplicar el teorema.
del problema de valor inicial
Es decir, más allá del intervalo proporcionado por el teorema (dado que su demostración es constructiva) no podemos decir nada, en principio, del comportamiento de la solución del problema de valor inicial.
Es posible complementar el teorema señalando que existe un intervalo abierto, que llamaremos intervalo maximal en el cual puede garantizarse que la solución existe y es única; fuera de este intervalo, el teorema de Picard no puede aplicarse.
Ahora bien, hay un corolario del teorema del punto fijo de Banach que nos dice que si un operador
Intentaremos aplicar este resultado al operador de Picard.
Pero antes veamos un pequeño lema que nos será muy útil para aplicar el anterior corolario.
ya lo hemos visto, suponemos cierto para
Por lo tanto ahora sí, teniendo esta desigualdad podemos asegurar que para
será contractivo y por el corolario anterior
Por lo que, finalmente, hemos podido optimizar el intervalo a tomar
El método de aproximaciones sucesivas de Picard es un método iterativo para obtener una solución a una EDO.
Dicha construcción iterativa se podrá realizar según la expresión
Este método constructivo es posible gracias al teorema del punto fijo de Banach.
Para estudiar la existencia y unicidad de solución, definimos
es Lipschitz respecto de su segunda variable en
Para ello tomamos dos puntos cualesquiera
y, usando el Teorema del valor medio, obtenemos
y, por el Teorema de Picard-Lindelöf, existe una única solución local para el problema
queremos comprobar si se cumplen las hipótesis del Teorema de Picard-Lindelöf.
como el ejemplo anterior, y veamos si se cumple la condición de Lipschitz: