Teorema del valor medio

Algunos matemáticos consideran que este teorema es el más importante del cálculo (véase también el teorema fundamental del cálculo integral).

De manera precisa el teorema enuncia que si

es paralela a la recta secante que pasa por los puntos

[1]​ Una forma restringida del teorema fue demostrada por Michel Rolle en 1691; el resultado fue lo que ahora se conoce como teorema de Rolle, y se demostró sólo para polinomios, sin las técnicas de cálculo.

El teorema del valor medio en su forma moderna fue declarado y probado por Cauchy en 1823.

tal que El teorema del valor medio es una generalización del teorema de Rolle, las hipótesis son que si una función

y toma valores iguales en los extremos del intervalo, esto es,

, esto es, el lado derecho de la expresión anterior es cero.

satisface las condiciones del Teorema de Rolle en

ya que: Por el Teorema de Rolle, como

, se define la ecuación punto-pendiente: o también, De acuerdo al enunciado la función es derivable en

existe y es la pendiente de la recta tangente en dicho punto y por ende la recta tangente tiene la forma (punto-pendiente): o también, Se observa que se llega a un sistema lineal de 2x2 La matriz del sistema es: Y su determinante es: Para que el sistema no tenga solución se debe cumplir det(A)=0, por lo tanto las rectas son paraleas en x=c, es decir f'(c) = mab Entonces, existe al menos un punto que no da solución al sistema y además la recta tangente al mismo es paralela a la recta entre a y b, es decir:

o también, Con ello queda demostrado el teorema del valor medio.

tal que O bien, aplicando el teorema fundamental del cálculo integral, se tiene que: Un caso especial sucede cuando ocurre

En este caso, el teorema del valor medio para integrales definidas sugiere que: Donde

sea una función integrable que no cambia signo en

Este caso tiene múltiples aplicaciones en Física e Ingeniería, sobre todo en estudios como Mecánica, Resistencia de materiales, Ciencia de materiales, y demás campos que tienen que ver con la determinación y uso de Centroides o centros geométricos de formas y variedades.

acorde al teorema del valor extremo (señala que una función f(x) continua en un intervalo cerrado [a,b] siempre tiene máximo absoluto y un mínimo absoluto en el intervalo).Como

entonces por el teorema del valor intermedio, existe al menos un

entonces y seguiremos obteniendo el mismo resultado que antes.

Aplicando la integración de Riemann La suma aloja todos los

Al reemplazar, la integral queda de la siguiente manera: como

, es decir, Y así, queda demostrado el teorema del valor medio para integrales.

El teorema del valor medio se puede generalizar para funciones reales de argumento vectorial.

Esto se puede hacer parametrizando a la función y usando el teorema del valor medio de una variable.

es una función diferenciable de una variable, el teorema del valor medio nos da: para algún

no es por sí misma una condición suficiente para garantizar la validez del teorema.

es abierto, conexo y toda derivada parcial de

No existe un análogo estricto del teorema de valor medio para aplicaciones

En este caso, sólo es posible establecer la siguiente desigualdad en términos de la norma: Teniendo en cuenta que dada una función