Teorema del valor medio de Cauchy

En análisis matemático, y más concretamente en cálculo diferencial, el teorema del valor medio de Cauchy es una generalización del teorema del valor medio (de Lagrange).

A partir de este puede demostrarse la regla de L'Hôpital, fuerte ayuda para el cálculo de límites con indeterminaciones

El teorema, aparecido en su Cours d’Analyse (1821),[1]​ se enuncia de la siguiente manera: Sean

Entonces existe al menos un punto

c ∈ ( a , b )

( c ) = ( g ( b ) − g ( a ) ) f

{\displaystyle (f(b)-f(a))g\,'(c)=(g(b)-g(a))f\,'(c).\,}

En el caso de que g(a) ≠ g(b) y además g′(c) ≠ 0, entonces se puede escribir:

{\displaystyle {\frac {f'(c)}{g'(c)}}={\frac {f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}}\cdot }

Nótese el caso particular en el cual g(x)=x, donde entonces la expresión se reduce al teorema del valor medio de Lagrange.

( x ) = [ g ( b ) − g ( a ) ] ⋅ [ f ( x ) − f ( a ) ] − [ f ( b ) − f ( a ) ] ⋅ [ g ( x ) − g ( a ) ]

{\displaystyle G(x)=[g(b)-g(a)]\cdot [f(x)-f(a)]-[f(b)-f(a)]\cdot [g(x)-g(a)]\,\!}

{\displaystyle G'(x)=[g(b)-g(a)]\cdot f'(x)-[f(b)-f(a)]\cdot g'(x)}

{\displaystyle 0=[g(b)-g(a)]\cdot f'(c)-[f(b)-f(a)]\cdot g'(c)}

{\displaystyle [f(b)-f(a)]\cdot g'(c)=[g(b)-g(a)]\cdot f'(c)}

{\displaystyle {\frac {f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}}={\frac {f'(c)}{g'(c)}}}

El teorema de Cauchy es usado para la demostración de otros teoremas.

Nos permite, entre otros, demostrar la regla de L'Hôpital: