Cálculo diferencial

El cálculo diferencial es una parte del cálculo infinitesimal y del análisis matemático que estudia cómo cambian las funciones continuas según sus variables cambian de estado.

El estudio del cambio de una función es de especial interés para el cálculo diferencial, en concreto el caso en el que el cambio de las variables es infinitesimal, esto es, cuando dicho cambio tiende a cero (se hace tan pequeño como se desee).

Y es que el cálculo diferencial se apoya constantemente en el concepto básico del límite.

Esto es, una derivada involucra, en términos matemáticos, una tasa de cambio.

La inversa de una derivada se llama primitiva, antiderivada o integral.

Para obtener estas pendientes, tómese un número arbitrariamente pequeño que se denominará h. h representa una pequeña variación en x, y puede ser tanto positivo como negativo.

La derivada de f en x es el límite del valor del cociente diferencial conforme las líneas secantes se acercan más a la tangente: Si la derivada de f existe en cada punto x, es posible entonces definir la derivada de f como la función cuyo valor en el punto x es la derivada de f en x.

Puesto que la inmediata sustitución de h por 0 da como resultado una división por cero, calcular la derivada directamente puede ser poco intuitivo.

Una técnica consiste en simplificar el numerador de modo que la h del denominador pueda cancelarse.

Dada una base vectorial, esta aproximación lineal viene dada por la matriz jacobiana: Los problemas comunes que dieron origen al cálculo infinitesimal comenzaron a plantearse en la época clásica de la antigua Grecia (siglo III a. C..

Ellos dos sintetizaron dos conceptos y métodos usados por sus predecesores en lo que hoy se denomina «diferenciación» e «integración».

Desde el siglo XVII, muchos matemáticos han contribuido al cálculo diferencial.

En el siglo XIX, el cálculo tomó un estilo más riguroso, debido a matemáticos como Augustin Louis Cauchy (1789-1857), Bernhard Riemann (1826-1866), y Karl Weierstrass (1815-1897).

También puede definirse a la recta tangente como la mejor aproximación lineal a la función en su punto de tangencia, esto es, la recta tangente es la función polinómica de primer grado que mejor aproxima a la función localmente en el punto de tangencia considerado.

y se evalúa tanto en la función como en la recta tangente, la diferencia

por el punto a es: Las derivadas son una herramienta útil para examinar las gráficas de funciones.

Sin embargo, no todos los puntos críticos son extremos locales.

Una vez que se encuentran los extremos locales, es mucho más fácil hacerse de una burda idea de la gráfica general de la función, ya que (en el caso del dominio monodimensional) se incrementará o decrementará uniformemente excepto en los puntos críticos, y por ello (suponiendo su continuidad) tendrá valores intermedios entre los valores en los puntos críticos de cada lado.

Es posible entonces aproximar mediante su recta tangente a una función derivable localmente en un punto.

y el desarrollo anterior se convierte en una serie de Taylor.

Son puntos singulares los valores en los que la derivada de la función:

No obstante, nunca hay que despreciar los extremos en dichos problemas.

Quizá la situación más natural es que las funciones sean diferenciables en las variedades.

La derivada en un cierto punto entonces se convierte en una transformación lineal entre los correspondientes espacios tangentes, y la derivada de la función se convierte en un mapeo entre los grupos tangentes.

Para diferenciar todas las funciones continuas y mucho más, se puede definir el concepto de distribución.

Para las funciones complejas de una variable compleja, la diferenciabilidad es una condición mucho más fuerte que la simple parte real e imaginaria de la función diferenciada con respecto a la parte real e imaginaria del argumento.

[4]​ El concepto principal detrás del FCS es la caracterización de los elementos del cálculo fraccional utilizando conjuntos debido a la gran cantidad de operadores fraccionales disponibles.

En ese momento, Leibniz no pudo proporcionar una interpretación física o geométrica para esta pregunta, por lo que simplemente respondió a L’Hopital en una carta que "... es una aparente paradoja de la cual, algún día, se derivarán consecuencias útiles".

El nombre "cálculo fraccional" se origina a partir de una pregunta histórica, ya que esta rama del análisis matemático estudia derivadas e integrales de un cierto orden

En consecuencia, cuando no es necesario especificar explícitamente la forma de una derivada fraccional, típicamente se denota de la siguiente manera: Los operadores fraccionales tienen varias representaciones, pero una de sus propiedades fundamentales es que recuperan los resultados del cálculo tradicional a medida que