Extremos de una función
En matemáticas, los máximos y mínimos de una función, conocidos colectivamente como extremos de una función, son los valores más grandes (máximos) o más pequeños (mínimos), que toma una función en un punto situado ya sea dentro de una región en particular de la curva (extremo local o relativo) o en el dominio de la función en su totalidad (extremo global o absoluto).
[1][2][3] De manera más general, los máximos y mínimos de un conjunto (como se define en teoría de conjuntos) son los elementos mayor y menor en el conjunto, cuando existen.
El localizar valores extremos es el objetivo básico de la optimización matemática.
un punto perteneciente a la gráfica de la función.
si existe un entorno reducido de centro
Para que esta propiedad posea sentido estricto debe cumplirse
Análogamente se dice que el punto
si existe un entorno reducido de centro
un punto perteneciente a la gráfica de la función.
Se dice que P es un máximo absoluto de f si, para todo x distinto de
perteneciente al subconjunto A, su imagen es menor o igual que la de
Análogamente, P es un mínimo absoluto de f si, para todo x distinto de
perteneciente al subconjunto A, su imagen es mayor o igual que la de
Dada una función suficientemente diferenciable
, definida en un intervalo abierto de
, el procedimiento para hallar los extremos de esta función es muy sencillo: Sea
Hallar sus extremos locales y sus puntos de inflexión.
existe un punto de inflexión en
Dada una función de n variables, un extremo requiere calcular el gradiente.
, nótese que la función puede escribirse equivalentemente como suma de dos funciones estrictamente positivas
{\displaystyle f(x,y)=(x-a)^{2}+y^{2}}
minimizando los términos por separado es obvio que para
( x , y ) = ( a , 0 )
El procedimiento estándar cuando los mínimos no son evidentes a simple vista consiste en calcular la matriz jacobiana (que en este caso coincide con el gradiente):
f ( x , y ) ] =
Por lo tanto, para alcanzar un mínimo se requeriría
Un problema de extremos condicionados consiste en buscar un extremo de una función no sobre cualquier punto de su dominio sino sobre un subconjunto del dominio de la función que puede expresarse como variedad diferenciable.
Más concretamente consiste en encontrar un máximo (o un mínimo) sujeto a la condición de que el punto donde se produce pertenezca a un cierto conjunto:
{\displaystyle \max _{x\in S}f(x),\qquad \left(\min _{x\in S}f(x)\right);\qquad {\mbox{con}}\ S:=\{x|g(x)=0\}\subset \mathbb {R} ^{n}}
Este tipo de problemas aparece en numerosas aplicaciones prácticas tanto en ciencias físicas como en economía, por ejemplo.
