Teorema fundamental del cálculo

El teorema fundamental del cálculo consiste (intuitivamente) en la afirmación de que la derivación e integración de una función son operaciones inversas.[1]​ Esto significa que toda función acotada e integrable (siendo continua o discontinua en un número finito de puntos) verifica que la derivada de su integral es igual a ella misma.El teorema fue fundamental porque hasta entonces el cálculo aproximado de áreas -integrales- en el que se venía trabajando desde Arquímedes, era una rama de la matemática que se seguía por separado del cálculo diferencial que se venía desarrollando por Isaac Newton, Isaac Barrow y Gottfried Leibniz en el siglo XVIII, y dio lugar a conceptos como el de las derivadas.Las integrales eran investigadas como formas de estudiar áreas y volúmenes, hasta que en ese punto de la historia ambas ramas convergieron, al demostrarse que el estudio del «área bajo una función» estaba íntimamente vinculado al cálculo diferencial, resultando la integración la operación inversa a la derivación.Una consecuencia directa de este teorema es la regla de Barrow,[2]​ denominada en ocasiones segundo teorema fundamental del cálculo, y que permite calcular la integral de una función utilizando la integral indefinida de la función al ser integrada.El teorema fundamental del cálculo se refiere a la diferenciación e integración, demostrando que estas dos operaciones son esencialmente inversas la una de la otra.Antes del descubrimiento de este teorema, no se reconoció que estas dos operaciones estaban relacionadas.Los antiguos matemáticos griegos sabían cómo calcular el área a través de los infinitesimales, una operación que ahora llamaríamos integración.La relevancia histórica del teorema fundamental del cálculo no es la capacidad de calcular estas operaciones, sino la constatación de que estas dos operaciones distintas en apariencia (cálculo de áreas geométricas y cálculo de velocidades) estaban finalmente en estrecha relación.La primera declaración publicada y prueba de una versión restringida del teorema fundamental fue hecha por James Gregory (1638–1675).[3]​ Isaac Barrow (1630–1677) demostró una versión más generalizada del teorema,[4]​ mientras que el estudiante de Barrow, Isaac Newton (1642–1727), completó el desarrollo de la teoría matemática concernida.Gottfried Leibniz (1646–1716) sistematizó el conocimiento en un cálculo de las cantidades infinitesimales e introdujo la notación utilizada en la actualidad.tiene sentido de manera intuitiva pensar que existe una funciónSupóngase ahora que se quiere calcular el área bajo la curva entreSe podría hacer hallando el área entreOtra manera de estimar esta misma área es multiplicarpara hallar el área de un rectángulo que coincide aproximadamente con la «loncha».Nótese que la aproximación al área buscada es más precisa cuanto más pequeño sea el valor de, se observa que el miembro derecho de la ecuación es sencillamente la derivaday que el miembro izquierdo se queda enSe muestra entonces de manera informal queLo que se ha mostrado es que, intuitivamente, calcular la derivada de una función y «hallar el área» bajo su curva son operaciones «inversas», es decir, el objetivo del teorema fundamental del cálculo integral.Puesto que la desigualdad se sigue inmediatamente.como: Aplicando el lema se observa que: Por lo tanto, Seany debido a esa tendencia se tiene también queVista la ecuación de otra manera: Por lo tanto o también Y en consecuencia Con ello se demuestra el primer teorema fundamental del cálculo.entonces En ocasiones a este corolario se le llega a denominar como el «segundo teorema fundamental del cálculo».Si utilizamos la regla de la cadena obtenemos como consecuencia directa del primer teorema fundamental del cálculo siendotal que Si entonces es decir Sumando estas ecuaciones para, por lo tanto Considérese la integral Se tiene que