El método de aproximaciones sucesivas de Picard (por Charles Émile Picard, matemático francés que lo desarrolló) es un método iterativo para obtener una solución a una ecuación diferencial.
Para un problema de Cauchy con la ecuación diferencial
= f ( x , y )
y condición de contorno
donde se puede asegurar la existencia y unicidad de solución para un dominio
{\displaystyle D:{|x-x_{0}| es posible construir una solución de forma iterativa según la expresión {\displaystyle y_{n}(x)=y_{0}+\int _{x_{0}}^{x}f(t,y_{n-1}(t))dt} se puede elegir arbitrariamente. La convergencia de esta serie de funciones es demostrable en el intervalo {\displaystyle h=\min \left(a,{\frac {b}{M}}\right)} ( x , y ) ∈ f ( x , y ) {\displaystyle M=\max _{(x,y)\in D}|f(x,y)|} El error del paso enésimo es acotable mediante la desigualdad donde ( x , y ) ∈ {\displaystyle N=\max _{(x,y)\in {}D}\left|{\frac {\partial f}{\partial y}}\right|} Con ello es posible programar el algoritmo para que itere hasta una resolución dada. Consideramos el problema de Cauchy = 2 x ( 1 − y ) , En este caso f ( x , y ) = 2 x ( 1 − y ) {\displaystyle f(x,y)=2x(1-y)} Ahora se construirá una solución de forma iterativa según la expresión dada anteriormente. y las iteraciones sucesivas son: {\displaystyle y_{3}(x)=y_{0}+\int _{x_{0}}^{x}f(t,y_{2}(t))\ dt=...=2-x^{2}+{\frac {1}{2}}x^{4}-{\frac {1}{6}}x^{6}} , y, de forma general, podemos expresar de la siguiente forma: Se puede observar que las aproximaciones son las sumas parciales del desarrollo en serie de potencias de , que es la solución al problema de Cauchy anterior.