El método de aproximaciones sucesivas de Picard (por Charles Émile Picard, matemático francés que lo desarrolló) es un método iterativo para obtener una solución a una ecuación diferencial.Para un problema de Cauchy con la ecuación diferencial= f ( x , y ){\displaystyle y'=f(x,y)}y condición de contornodonde se puede asegurar la existencia y unicidad de solución para un dominio{\displaystyle D:{|x-x_{0}|es posible construir una solución de forma iterativa según la expresión{\displaystyle y_{n}(x)=y_{0}+\int _{x_{0}}^{x}f(t,y_{n-1}(t))dt}se puede elegir arbitrariamente.Lo habitual es elegirLa convergencia de esta serie de funciones es demostrable en el intervalo{\displaystyle h=\min \left(a,{\frac {b}{M}}\right)}f ( x , y ){\displaystyle M=\max _{(x,y)\in D}|f(x,y)|}El error del paso enésimo es acotable mediante la desigualdad donde{\displaystyle N=\max _{(x,y)\in {}D}\left|{\frac {\partial f}{\partial y}}\right|}Con ello es posible programar el algoritmo para que itere hasta una resolución dada.Consideramos el problema de Cauchyf ( x , y ) = 2 x ( 1 − y ){\displaystyle f(x,y)=2x(1-y)}Ahora se construirá una solución de forma iterativa según la expresión dada anteriormente.y las iteraciones sucesivas son:d t = 2 +d t = 2 +{\displaystyle y_{3}(x)=y_{0}+\int _{x_{0}}^{x}f(t,y_{2}(t))\ dt=...=2-x^{2}+{\frac {1}{2}}x^{4}-{\frac {1}{6}}x^{6}}, y, de forma general, podemos expresarde la siguiente forma:Se puede observar que las aproximaciones son las sumas parciales del desarrollo en serie de potencias de, que es la solución al problema de Cauchy anterior.