Forma canónica de Jordan
son raíces del polinomio característico (valores propios), y
Tenemos valores propios de A que son solo λ = 5, 5, 5, 5.
representa la matriz identidad de orden 4), por lo tanto A no es diagonalizable.
1) Supongamos que se quiere diagonalizar la siguiente matriz Primeros calculamos el polinomio característico y vemos si
es diagonalizable buscamos los autovectores, estos conforman las bases de los espacios
En particular, un vector de la base (el más simple sin contar el nulo) es (1,1,0).
pero este espacio es unidimensional luego no alcanzan los autovectores para construir una base de
(suponiendo que estamos trabajando en este espacio) y por lo tanto
¿Cómo reducir esta matriz a una forma simple entonces si no la podemos hacer diagonal?
Sea B esta base, debe estar conformada por tres vectores y solo tenemos dos.
Hay varias maneras de encontarlo, una es proponer
y buscar las coordenadas (a,b,c) tal que se cumpla
Por la manera en la que definimos la base B la matriz J tiene que ser es decir que basta efectuar los productos mencionados e igualarlos, queda Queda formado entonces el siguiente sistema que son infinitos vectores de la forma
(notemos que se trata de una múltiplo del autovector asociado al autovalor 2 pero con una coordenada sumada).
En general, cualquier matriz de la forma
cumple que Nota: podemos resolver el sistema PJ=AP triangulando la matriz ampliada
Este algoritmo será analizado en el siguiente ejemplo con más detalle.
esto equivale a afirmar que el vector
Para encontrar otro vector linealmente independiente, podemos triangular la matriz A-2I ampliada con las coordenadas del autovector (asociado a este autovalor 2) como columna.
Sin embargo todavía nos falta un vector más para construir una base de
Formamos 3) Hallar la forma canónica de Jordan de la matriz Hallamos el polinomio característico: Sus raíces son
Triangulamos Por lo tanto el espacio propio asociado a este autovalor es
Buscamos la base en la cual A tiene la forma de Jordan.
Una forma de encontrar estos vectores es la siguiente.
hasta que la dimensión del último sea la multiplicidad de la raíz (4 en este caso).
han de valer cero, excepto las dos primeras.
y observamos que las dos últimas coordenadas han de valer 0.
, por ejemplo con el vector (0,0,1,0,0): En este caso, la nulidad de
) no puede ser superior a la multiplicidad algebraica del autovalor 1, que es 4, ya hemos llegado a la dimensión máxima.
pero que no pertenezca a ninguno de los anteriores.
